Solution de référence
=====================


Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
--------------------------------------------------------

Le problème de mécanique statique linéaire axisymétrique considéré peut être résolu de manière analytique. On résout indépendamment la réponse à la sollicitation force volumique et force surfacique pour les sommer ensuite.

**Force volumique quadratique** :math:`{F}_{V}(r)=\alpha {r}^{2}`

On considère les équations d’équilibre en coordonnées cylindriques:


.. image:: images/Object_3.svg
    :width: 270
    :height: 122


.. _RefImage_Object_3.svg:

qui se simplifient étant donnée la symétrie axiale en:

.. image:: images/Object_4.svg
    :width: 270
    :height: 122


.. _RefImage_Object_4.svg:

En utilisant la loi de comportement puis les relations déformations-déplacements, on aboutit à l’équation différentielle suivante:

.. image:: images/Object_5.svg
    :width: 270
    :height: 122


.. _RefImage_Object_5.svg:

La force volumique appliquée est du type: fV= .r²


.. _Ref497284509:

La solution de l’équation différentielle s’écrit alors:


.. image:: images/Object_6.svg
    :width: 270
    :height: 122


.. _RefImage_Object_6.svg:


.. _RefEquation 2.1-1:

                     éq 2.1-1

Les deux constantes d’intégrations :math:`{c}_{1}` et :math:`{c}_{2}` sont déterminées grâce aux conditions aux limites:

.. image:: images/Object_7.svg
    :width: 270
    :height: 122


.. _RefImage_Object_7.svg:

On obtient:

.. image:: images/Object_8.svg
    :width: 270
    :height: 122


.. _RefImage_Object_8.svg:

**Force surfacique type pression** :math:`{F}_{S}({R}_{int})=P`

Le problème à résoudre est de même nature, mais avec une force volumique appliquée nulle: :math:`{f}_{V}=0` soit :math:`\alpha =0` .

La solution en déplacement [:ref:`éq 2.1-1 <éq 2.1-1>`] s’écrit alors:

.. image:: images/Object_9.svg
    :width: 270
    :height: 122


.. _RefImage_Object_9.svg:

, devant respecter les conditions:

.. image:: images/Object_10.svg
    :width: 270
    :height: 122


.. _RefImage_Object_10.svg:

Ce qui donne:


.. image:: images/Object_11.svg
    :width: 270
    :height: 122


.. _RefImage_Object_11.svg:


.. _RefEquation 2.1-2:

                 éq 2.1-2


Résultats de référence
----------------------

**Application Numérique:**


.. csv-table::

    "*   hauteur", "= :math:`0.5m` ;"
    "*   rayon intérieur", "= :math:`1m` ;"
    "*   rayon extérieur", "= :math:`1.4m` ;"
    "*   :math:`E`", "= :math:`10\mathrm{Pa}` ;"
    "*   :math:`\rho`", "= :math:`1\mathrm{kg}/{m}^{3}` ;"
    "*   :math:`\nu`", "= :math:`0.3` ;"
    "*   :math:`\alpha`", "= :math:`1N/{m}^{5}` ;"
    "*   :math:`P`", "= :math:`1N/{m}^{2}` ."


en injectant les valeurs numériques dans les solutions [:ref:`éq 2.1-1 <éq 2.1-1>`] et [:ref:`éq 2.1-2 <éq 2.1-2>`] on trouve après sommation:


.. image:: images/Object_12.svg
    :width: 270
    :height: 122


.. _RefImage_Object_12.svg:


Incertitudes sur la solution
----------------------------

Nulle (solution de référence analytique).