2. Solution de référence#
2.1. Résultats de référence#
2.1.1. ZE200a#
2.1.1.1. Calcul de Sn#
Le paramètre \(\mathit{Sn}\) représente l’amplitude de variation de la contrainte linéaire (contrainte moyenne \(\pm\) contrainte de flexion) entre deux instants du transitoire considéré.
\(S_{n} = \begin{array}{c}C_{1} \frac{R}{e} |P_{A} - P_{B}| + C_{2} \frac{R}{I} \sqrt{(M_{xA} - M_{xB})^2 +(M_{yA} - M_{yB})^2 +(M_{zA} - M_{zB})^2} + \Vert \sigma_{\text{tran}}^{\text{lin}}(t_{1}) -\sigma_{\text{tran}}^{\text{lin}}(t_{2}) \Vert\end{array}\)
Sans contraintes thermiques , pour la situation 1 \({S}_{n}=120\) et pour la situation 2 \({S}_{n}=60\) (à l’origine et à l’extrémité).
Avec contraintes thermiques, on calcule les amplitudes maximales de contraintes thermiques linéarisées à l’origine puis à l’extrémité.
Situation 1
Instant |
Contraintes thermiques |
\({\sigma}^{\mathit{moyen}}\) |
\({\sigma}^{\mathit{flexion}}\) |
\({\sigma}_{0}^{\mathit{lin}}\) |
\({\sigma}_{L}^{\mathit{lin}}\) |
||
Abscisse |
|||||||
0 |
1 |
2 |
|||||
1, 5 |
90 |
100 |
110 |
100 |
10 |
90 |
110 |
2, 5 |
0 |
100 |
-90 |
27,5 |
-45 |
72,5 |
-17,5 |
3, 5 |
100 |
-50 |
-100 |
-25 |
-100 |
75 |
-125 |
4, 5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Instant 1 |
Instant 2 |
\({\mathit{Sn}}_{0}\) |
\({\mathit{Sn}}_{L}\) |
1, 5 |
2, 5 |
17,5 |
127,5 |
1, 5 |
3, 5 |
15 |
235 |
1, 5 |
4, 5 |
90 |
110 |
2, 5 |
3, 5 |
2,5 |
107,5 |
2, 5 |
4, 5 |
72,5 |
17,5 |
3, 5 |
4, 5 |
75 |
125 |
Pour la situation 1 avec contraintes thermiques, \({\mathit{Sn}}_{0}=120+90=210\) et \({\mathit{Sn}}_{L}=120+235=355\) .
Situation 2
Instant |
Contraintes thermiques |
\({\sigma}^{\mathit{moyen}}\) |
\({\sigma}^{\mathit{flexion}}\) |
\({\sigma}_{0}^{\mathit{lin}}\) |
\({\sigma}_{L}^{\mathit{lin}}\) |
||
Abscisse |
|||||||
0 |
1 |
2 |
|||||
1 |
90 |
100 |
90 |
95 |
0 |
95 |
95 |
2 |
0 |
100 |
-90 |
27,5 |
-45 |
72,5 |
-17,5 |
3 |
100 |
-50 |
-100 |
-25 |
-100 |
75 |
-125 |
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Instant 1 |
Instant 2 |
\({\mathit{Sn}}_{0}\) |
\({\mathit{Sn}}_{L}\) |
1 |
2 |
22,5 |
112,5 |
1 |
3 |
20 |
2 20 |
1 |
4 |
9 5 |
95 |
2 |
3 |
2,5 |
107,5 |
2 |
4 |
72,5 |
17,5 |
3 |
4 |
75 |
125 |
Pour la situation 2 avec contraintes thermiques, \({\mathit{Sn}}_{0}=60+95=155\) et \({\mathit{Sn}}_{L}=60+220=280\) .
2.1.1.2. Calcul de Sn avec séisme#
On vient ajouter la contribution du séisme à la grandeur Sn telle que
\({S}_{\mathit{nS}} = \begin{array}{c}{C}_{1} \frac{R}{e} |{P}_{A} - {P}_{B}| + {C}_{2} \frac{R}{I} \sqrt{({M}_{\mathit{xA}} - {M}_{\mathit{xB}} \pm 2{M}_{\mathit{xS}})^2 +({M}_{\mathit{yA}} - {M}_{\mathit{yB}} \pm 2{M}_{\mathit{yS}})^2 +({M}_{\mathit{zA}} - {M}_{\mathit{zB}} \pm 2{M}_{\mathit{zS}})^2} + \Vert \sigma_{\text{tran}}^{\text{lin}}(t_1) - \sigma_{\text{tran}}^{\text{lin}}(t_2) \Vert\end{array}\)
Pour la situation 1 sans contraintes sous forme de transitoire,
\({S}_{\mathit{nS}}=\begin{array}{c}{C}_{1}\frac{R}{e}|{P}_{A}-{P}_{B}|+{C}_{2}\frac{R}{I}\sqrt{({({M}_{\mathit{xA}}-{M}_{\mathit{xB}}\pm 2{M}_{\mathit{xS}})}^{2})}\end{array}\)
\({\mathit{Sn}}_{S}=1\ast \frac{0,5}{1}|201-1|+2\ast \frac{0,5}{1}\sqrt{({(21-1\pm 2\ast 21)}^{2})}=100+62=162\) à l’origine et à l’extrémité.
Pour la situation 2 sans contraintes sous forme de transitoire,
\({\mathit{Sn}}_{S}=1\ast \frac{0,5}{1}|0-0|+2\ast \frac{0,5}{1}\sqrt{({(1-61\pm 2\ast 21)}^{2})}=102\) à l’origine et à l’extrémité.
2.1.1.3. Calcul de fatigue pour les situations 1 et 2 dans le même groupe#
Le calcul est détaillé pour la combinaison des situations 1 et 2 uniquement et à l’origine .
On cherche à remplir le tableau des facteurs d’usage élémentaires.
On calcule d’abord les grandeurs par situations puis la combinaison.
Situation 1
Pour la situation 1, on rappelle qu’avec les contraintes thermiques \({\mathit{Sn}}_{0}=210\) (cf. Section 2.1.1). On calcule la grandeur Sp à l’origine.
\(S_{p} = K_{1} C_{1} \frac{R}{e} |P_{A} - P_{B}| + K_{2} C_{2} \frac{R}{I} \sqrt{\big( (M_{xA} - M_{xB})^2 + (M_{yA} - M_{yB})^2 + (M_{zA} - M_{zB})^2 \big)} + \left\| \sigma_{\text{tran}}(t_{1}) - \sigma_{\text{tran}}(t_{2}) \right\|\)
Sans contraintes thermiques , pour la situation 1 \({S}_{p}^{0}=120\) .
Avec contraintes thermiques, on calcule les amplitudes maximales de contraintes thermiques linéarisées à l’origine:
Instant 1 |
Instant 2 |
\({\mathit{Sp}}_{0}\) |
1, 5 |
2, 5 |
90 |
1, 5 |
3, 5 |
10 |
1, 5 |
4, 5 |
90 |
2, 5 |
3, 5 |
100 |
2, 5 |
4, 5 |
0 |
3, 5 |
4, 5 |
100 |
Pour la situation 1, on a donc \({\mathit{Sp}}_{0}=120+100=220\) .
Pour \(\mathit{Sm}=2000\mathit{MPa}\) , on a donc \(\mathit{Ke}=1\) et \({\mathit{Salt}}_{0}=\frac{1}{2}\frac{{E}_{c}}{E}\mathit{Ke}{\mathit{Sp}}_{0}=110\mathit{MPa}\) . D’après la courbe de Wöhler on a donc \({\mathit{Nadm}}_{0}=\frac{500000}{{\mathit{Salt}}_{0}}=4545\) soit \({\mathit{FU}}_{0}=2,2{10}^{-4}\) .
Situation 2
De manière similaire pour la situation 2, on a \({\mathit{Sn}}_{0}=155\) , \({\mathit{Sp}}_{0}=60+100=160\) , soit \(\mathit{Ke}=1\) et \({\mathit{Salt}}_{0}=80\mathit{MPa}\) soit \({\mathit{FU}}_{0}={\mathrm{1,6.10}}^{-4}\) .
Combinaison des situations 1 et 2
Pour la combinaison des situations 1 et 2 on a sans la thermique
\({S}_{n}^{0}=\begin{array}{c}{C}_{1}\frac{R}{e}|201-0|+{C}_{2}\frac{R}{I}\sqrt{({(21-61)}^{2})}\end{array}=100,5+40=140,5\)
Avec la thermique on a \({\mathit{Sn}}_{0}=95+140,5=235,5\) pour les instants 4,5 et 1. Donc \(\mathit{Ke}=1\) .
Sans la thermique \({\mathit{Sp}}_{0}^{1}=140,5\) puis par exemple en combinant les instants 2,5 et 3 \({\mathit{Sp}}_{0}^{1}=240,5\) soit \({\mathit{FU}}_{0}^{1}=\mathrm{2,405.}{10}^{-4}\) .
On calcule le deuxième transitoire fictif, sans la thermique sur les moments et la pression on prend les états complémentaires soit \({\mathit{Sp}}_{0}^{2}=\begin{array}{c}{C}_{1}\frac{R}{e}|1-0|+{C}_{2}\frac{R}{I}\sqrt{({(1-1)}^{2})}\end{array}=0,5\) . Puis en combinant les instants 3,5 et 2 \({\mathit{Sp}}_{0}^{2}=100+0,5=100,5\) soit \({\mathit{FU}}_{0}^{2}=\mathrm{1,005.}{10}^{-4}\) .
Le facteur d’usage de la combinaison des situations 1 et 2 est donc \(\mathit{FU}={\mathit{FU}}_{0}^{1}+{\mathit{FU}}_{0}^{2}=\mathrm{2,405.}{10}^{-4}+\mathrm{1,005.}{10}^{-4}=\mathrm{3,41.}{10}^{-4}\)
Le tableau des facteurs d’usage élémentaires à l’origine est donc
Situation 1 |
Situation 2 |
|
Situation 1 |
\(2,2{10}^{-4}\) |
\({\mathrm{3,41.10}}^{-4}\) |
Situation 2 |
_ |
\({\mathrm{1,6.10}}^{-4}\) |
Comme on a \({\mathit{Nocc}}_{1}=1\) et \({\mathit{Nocc}}_{2}=1\) on a \({\mathit{FU}}_{\mathit{TOTAL}}^{\mathit{ORI}}={\mathrm{3,41.10}}^{-4}\) .
2.1.2. ZE200b#
2.1.2.1. Calcul de Sn#
Le paramètre \(\mathit{Sn}\) représente l’amplitude de variation de la contrainte linéaire (contrainte moyenne \(\pm\) contrainte de flexion) entre deux instants du transitoire considéré.
\(S_{n} = \begin{array}{c}C_{2} \frac{R}{I} \sqrt{(M_{xA} - M_{xB})^2 +(M_{yA} - M_{yB})^2 +(M_{zA} - M_{zB})^2} + \Vert \sigma_{\text{tran}}^{\text{lin}}(t_{1}) -\sigma_{\text{tran}}^{\text{lin}}(t_{2}) \Vert\end{array}\)
Sans contraintes thermiques ni de pression , pour la situation 1 \({S}_{n}=20\) (à l’origine et à l’extrémité).
Avec contraintes sous forme de transitoire, on calcule les amplitudes maximales de contraintes thermiques+pression linéarisées à l’origine puis à l’extrémité.
Situation 1
Instant |
Contraintes thermiques+pression |
\({\sigma}^{\mathit{moyen}}\) |
\({\sigma}^{\mathit{flexion}}\) |
\({\sigma}_{0}^{\mathit{lin}}\) |
\({\sigma}_{L}^{\mathit{lin}}\) |
||
Abscisse |
|||||||
0 |
1 |
2 |
|||||
1, 5 |
180 |
200 |
220 |
200 |
20 |
180 |
220 |
2, 5 |
0 |
200 |
-180 |
55 |
-90 |
145 |
-35 |
3, 5 |
200 |
-100 |
-200 |
-50 |
-200 |
150 |
-250 |
4, 5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Instant 1 |
Instant 2 |
\({\mathit{Sn}}_{0}\) |
\({\mathit{Sn}}_{L}\) |
1, 5 |
2, 5 |
35 |
255 |
1, 5 |
3, 5 |
30 |
470 |
1, 5 |
4, 5 |
18 0 |
220 |
2, 5 |
3, 5 |
5 |
215 |
2, 5 |
4, 5 |
145 |
35 |
3, 5 |
4, 5 |
150 |
250 |
Pour la situation 1 avec contraintes sous forme de transitoire, \({\mathit{Sn}}_{0}=20+180=200\) et \({\mathit{Sn}}_{L}=20+470=490\) .
Situation 2
Sans contraintes thermiques ni de pression , pour la situation 2 \({S}_{n}=60\) (à l’origine et à l’extrémité).
La situation 2 n’a pas de contraintes de pression donc le calcul de la partie sous forme de transitoire est le même qu’en ZE200a (cf Section 2.1.1.1).
Pour la situation 2 avec contraintes thermiques, \({\mathit{Sn}}_{0}=60+95=155\) et \({\mathit{Sn}}_{L}=60+220=280\) .
2.1.2.2. Calcul de Sn avec séisme#
On vient ajouter la contribution du séisme à la grandeur Sn telle que
\(S_{\mathit{nS}} = \begin{array}{c}C_{2} \frac{R}{I} \sqrt{\big( (M_{\mathit{xA}} - M_{\mathit{xB}} \pm 2 M_{\mathit{xS}})^2 +(M_{\mathit{yA}} - M_{\mathit{yB}} \pm 2 M_{\mathit{yS}})^2 +(M_{\mathit{zA}} - M_{\mathit{zB}} \pm 2 M_{\mathit{zS}})^2 \big)} + \Vert \sigma_{\text{tran}}^{\text{lin}}(t_{1}) -\sigma_{\text{tran}}^{\text{lin}}(t_{2}) \Vert \end{array}\)
Pour la situation 1 sans contraintes sous forme de transitoire,
\({S}_{\mathit{nS}}=\begin{array}{c}{C}_{2}\frac{R}{I}\sqrt{({({M}_{\mathit{xA}}-{M}_{\mathit{xB}}\pm 2{M}_{\mathit{xS}})}^{2})}\end{array}=2\ast \frac{0,5}{1}\sqrt{({(21-1\pm 2\ast 21)}^{2})}=62\) àl’origine et à l’extrémité.
Pour la situation 2 sans contraintes sous forme de transitoire,
\({S}_{\mathit{nS}}=\begin{array}{c}{C}_{2}\frac{R}{I}\sqrt{({({M}_{\mathit{xA}}-{M}_{\mathit{xB}}\pm 2{M}_{\mathit{xS}})}^{2})}\end{array}=2\ast \frac{0,5}{1}\sqrt{({(1-61\pm 2\ast 21)}^{2})}=102\) à l’origine et à l’extrémité.
2.2. Incertitude sur la solution#
Solution analytique.