Solution de référence ===================== Résultats de référence ---------------------- .. _v3.04.161-ze200a: ZE200a ~~~~~~ .. _v3.04.161-calcul-sn: Calcul de Sn ^^^^^^^^^^^^ Le paramètre :math:`\mathit{Sn}` représente l’amplitude de variation de la contrainte linéaire (contrainte moyenne :math:`\pm` contrainte de flexion) entre deux instants du transitoire considéré. :math:`S_{n} = \begin{array}{c}C_{1} \frac{R}{e} |P_{A} - P_{B}| + C_{2} \frac{R}{I} \sqrt{(M_{xA} - M_{xB})^2 +(M_{yA} - M_{yB})^2 +(M_{zA} - M_{zB})^2} + \Vert \sigma_{\text{tran}}^{\text{lin}}(t_{1}) -\sigma_{\text{tran}}^{\text{lin}}(t_{2}) \Vert\end{array}` *Sans contraintes thermiques* , pour la situation 1 :math:`{S}_{n}=120` et pour la situation 2 :math:`{S}_{n}=60` (à l'origine et à l'extrémité). *Avec contraintes thermiques,* on calcule les amplitudes maximales de contraintes thermiques linéarisées à l'origine puis à l'extrémité. *Situation 1* +---------+-------------------------------------+---------------------------------------------+-----------------------------------------------+-----------------------------------------------+-----------------------------------------------+ | Instant | Contraintes thermiques | :math:`{\sigma}^{\mathit{moyen}}` | :math:`{\sigma}^{\mathit{flexion}}` | :math:`{\sigma}_{0}^{\mathit{lin}}` | :math:`{\sigma}_{L}^{\mathit{lin}}` | | +-------------------------------------+ | | | | | | Abscisse | | | | | | +------------------------+-----+------+ | | | | | | 0 | 1 | 2 | | | | | +---------+------------------------+-----+------+---------------------------------------------+-----------------------------------------------+-----------------------------------------------+-----------------------------------------------+ | 1, 5 | 90 | 100 | 110 | 100 | 10 | 90 | 110 | +---------+------------------------+-----+------+---------------------------------------------+-----------------------------------------------+-----------------------------------------------+-----------------------------------------------+ | 2, 5 | 0 | 100 | -90 | 27,5 | -45 | 72,5 | -17,5 | +---------+------------------------+-----+------+---------------------------------------------+-----------------------------------------------+-----------------------------------------------+-----------------------------------------------+ | 3, 5 | 100 | -50 | -100 | -25 | -100 | 75 | -125 | +---------+------------------------+-----+------+---------------------------------------------+-----------------------------------------------+-----------------------------------------------+-----------------------------------------------+ | 4, 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | +---------+------------------------+-----+------+---------------------------------------------+-----------------------------------------------+-----------------------------------------------+-----------------------------------------------+ .. csv-table:: "Instant 1", "Instant 2", ":math:`{\mathit{Sn}}_{0}`", ":math:`{\mathit{Sn}}_{L}`" "1, 5", "2, 5", "17,5", "127,5" "1, 5", "3, 5", "15", "**235**" "1, 5", "4, 5", "**90**", "110" "2, 5", "3, 5", "2,5", "107,5" "2, 5", "4, 5", "72,5", "17,5" "3, 5", "4, 5", "75", "125" Pour la situation 1 avec contraintes thermiques, :math:`{\mathit{Sn}}_{0}=120+90=210` et :math:`{\mathit{Sn}}_{L}=120+235=355` . *Situation 2* +---------+-------------------------------------+---------------------------------------------+-----------------------------------------------+-----------------------------------------------+-----------------------------------------------+ | Instant | Contraintes thermiques | :math:`{\sigma}^{\mathit{moyen}}` | :math:`{\sigma}^{\mathit{flexion}}` | :math:`{\sigma}_{0}^{\mathit{lin}}` | :math:`{\sigma}_{L}^{\mathit{lin}}` | | +-------------------------------------+ | | | | | | Abscisse | | | | | | +------------------------+-----+------+ | | | | | | 0 | 1 | 2 | | | | | +---------+------------------------+-----+------+---------------------------------------------+-----------------------------------------------+-----------------------------------------------+-----------------------------------------------+ | 1 | 90 | 100 | 90 | 95 | 0 | 95 | 95 | +---------+------------------------+-----+------+---------------------------------------------+-----------------------------------------------+-----------------------------------------------+-----------------------------------------------+ | 2 | 0 | 100 | -90 | 27,5 | -45 | 72,5 | -17,5 | +---------+------------------------+-----+------+---------------------------------------------+-----------------------------------------------+-----------------------------------------------+-----------------------------------------------+ | 3 | 100 | -50 | -100 | -25 | -100 | 75 | -125 | +---------+------------------------+-----+------+---------------------------------------------+-----------------------------------------------+-----------------------------------------------+-----------------------------------------------+ | 4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | +---------+------------------------+-----+------+---------------------------------------------+-----------------------------------------------+-----------------------------------------------+-----------------------------------------------+ .. csv-table:: "Instant 1", "Instant 2", ":math:`{\mathit{Sn}}_{0}`", ":math:`{\mathit{Sn}}_{L}`" "1", "2", "22,5", "112,5" "1", "3", "20", "**2** 20" "1", "4", "**9** 5", "95" "2", "3", "2,5", "107,5" "2", "4", "72,5", "17,5" "3", "4", "75", "125" Pour la situation 2 avec contraintes thermiques, :math:`{\mathit{Sn}}_{0}=60+95=155` et :math:`{\mathit{Sn}}_{L}=60+220=280` . Calcul de Sn avec séisme ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ On vient ajouter la contribution du séisme à la grandeur Sn telle que :math:`{S}_{\mathit{nS}} = \begin{array}{c}{C}_{1} \frac{R}{e} |{P}_{A} - {P}_{B}| + {C}_{2} \frac{R}{I} \sqrt{({M}_{\mathit{xA}} - {M}_{\mathit{xB}} \pm 2{M}_{\mathit{xS}})^2 +({M}_{\mathit{yA}} - {M}_{\mathit{yB}} \pm 2{M}_{\mathit{yS}})^2 +({M}_{\mathit{zA}} - {M}_{\mathit{zB}} \pm 2{M}_{\mathit{zS}})^2} + \Vert \sigma_{\text{tran}}^{\text{lin}}(t_1) - \sigma_{\text{tran}}^{\text{lin}}(t_2) \Vert\end{array}` *Pour la situation 1 sans contraintes sous forme de transitoire,* :math:`{S}_{\mathit{nS}}=\begin{array}{c}{C}_{1}\frac{R}{e}|{P}_{A}-{P}_{B}|+{C}_{2}\frac{R}{I}\sqrt{({({M}_{\mathit{xA}}-{M}_{\mathit{xB}}\pm 2{M}_{\mathit{xS}})}^{2})}\end{array}` :math:`{\mathit{Sn}}_{S}=1\ast \frac{0,5}{1}|201-1|+2\ast \frac{0,5}{1}\sqrt{({(21-1\pm 2\ast 21)}^{2})}=100+62=162` à l'origine et à l'extrémité. *Pour la situation 2 sans contraintes sous forme de transitoire,* :math:`{\mathit{Sn}}_{S}=1\ast \frac{0,5}{1}|0-0|+2\ast \frac{0,5}{1}\sqrt{({(1-61\pm 2\ast 21)}^{2})}=102` à l'origine et à l'extrémité. Calcul de fatigue pour les situations 1 et 2 dans le même groupe ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ Le calcul est détaillé pour la combinaison des situations 1 et 2 uniquement et *à l'origine* . On cherche à remplir le tableau des facteurs d'usage élémentaires. On calcule d'abord les grandeurs par situations puis la combinaison. *Situation 1* Pour la situation 1, on rappelle qu'avec les contraintes thermiques :math:`{\mathit{Sn}}_{0}=210` (cf. :numref:`v3.04.161-ze200a`). On calcule la grandeur Sp à l'origine. :math:`S_{p} = K_{1} C_{1} \frac{R}{e} |P_{A} - P_{B}| + K_{2} C_{2} \frac{R}{I} \sqrt{\big( (M_{xA} - M_{xB})^2 + (M_{yA} - M_{yB})^2 + (M_{zA} - M_{zB})^2 \big)} + \left\| \sigma_{\text{tran}}(t_{1}) - \sigma_{\text{tran}}(t_{2}) \right\|` *Sans contraintes thermiques* , pour la situation 1 :math:`{S}_{p}^{0}=120` . *Avec contraintes thermiques,* on calcule les amplitudes maximales de contraintes thermiques linéarisées à l'origine: .. csv-table:: "Instant 1", "Instant 2", ":math:`{\mathit{Sp}}_{0}`" "1, 5", "2, 5", "90" "1, 5", "3, 5", "10" "1, 5", "4, 5", "90" "2, 5", "3, 5", "**100**" "2, 5", "4, 5", "0" "3, 5", "4, 5", "**100**" Pour la situation 1, on a donc :math:`{\mathit{Sp}}_{0}=120+100=220` . Pour :math:`\mathit{Sm}=2000\mathit{MPa}` , on a donc :math:`\mathit{Ke}=1` et :math:`{\mathit{Salt}}_{0}=\frac{1}{2}\frac{{E}_{c}}{E}\mathit{Ke}{\mathit{Sp}}_{0}=110\mathit{MPa}` . D'après la courbe de Wöhler on a donc :math:`{\mathit{Nadm}}_{0}=\frac{500000}{{\mathit{Salt}}_{0}}=4545` soit :math:`{\mathit{FU}}_{0}=2,2{10}^{-4}` . *Situation 2* De manière similaire pour la situation 2, on a :math:`{\mathit{Sn}}_{0}=155` , :math:`{\mathit{Sp}}_{0}=60+100=160` , soit :math:`\mathit{Ke}=1` et :math:`{\mathit{Salt}}_{0}=80\mathit{MPa}` soit :math:`{\mathit{FU}}_{0}={\mathrm{1,6.10}}^{-4}` . *Combinaison des situations 1 et 2* Pour la combinaison des situations 1 et 2 on a sans la thermique :math:`{S}_{n}^{0}=\begin{array}{c}{C}_{1}\frac{R}{e}|201-0|+{C}_{2}\frac{R}{I}\sqrt{({(21-61)}^{2})}\end{array}=100,5+40=140,5` Avec la thermique on a :math:`{\mathit{Sn}}_{0}=95+140,5=235,5` pour les instants 4,5 et 1. Donc :math:`\mathit{Ke}=1` . Sans la thermique :math:`{\mathit{Sp}}_{0}^{1}=140,5` puis par exemple en combinant les instants 2,5 et 3 :math:`{\mathit{Sp}}_{0}^{1}=240,5` soit :math:`{\mathit{FU}}_{0}^{1}=\mathrm{2,405.}{10}^{-4}` . On calcule le deuxième transitoire fictif, sans la thermique sur les moments et la pression on prend les états complémentaires soit :math:`{\mathit{Sp}}_{0}^{2}=\begin{array}{c}{C}_{1}\frac{R}{e}|1-0|+{C}_{2}\frac{R}{I}\sqrt{({(1-1)}^{2})}\end{array}=0,5` . Puis en combinant les instants 3,5 et 2 :math:`{\mathit{Sp}}_{0}^{2}=100+0,5=100,5` soit :math:`{\mathit{FU}}_{0}^{2}=\mathrm{1,005.}{10}^{-4}` . Le facteur d'usage de la combinaison des situations 1 et 2 est donc :math:`\mathit{FU}={\mathit{FU}}_{0}^{1}+{\mathit{FU}}_{0}^{2}=\mathrm{2,405.}{10}^{-4}+\mathrm{1,005.}{10}^{-4}=\mathrm{3,41.}{10}^{-4}` Le tableau des facteurs d'usage élémentaires à l'origine est donc .. csv-table:: "", "Situation 1", "Situation 2" "Situation 1", ":math:`2,2{10}^{-4}`", ":math:`{\mathrm{3,41.10}}^{-4}`" "Situation 2", "_", ":math:`{\mathrm{1,6.10}}^{-4}`" Comme on a :math:`{\mathit{Nocc}}_{1}=1` et :math:`{\mathit{Nocc}}_{2}=1` on a :math:`{\mathit{FU}}_{\mathit{TOTAL}}^{\mathit{ORI}}={\mathrm{3,41.10}}^{-4}` . ZE200b ~~~~~~ Calcul de Sn ^^^^^^^^^^^^ Le paramètre :math:`\mathit{Sn}` représente l’amplitude de variation de la contrainte linéaire (contrainte moyenne :math:`\pm` contrainte de flexion) entre deux instants du transitoire considéré. :math:`S_{n} = \begin{array}{c}C_{2} \frac{R}{I} \sqrt{(M_{xA} - M_{xB})^2 +(M_{yA} - M_{yB})^2 +(M_{zA} - M_{zB})^2} + \Vert \sigma_{\text{tran}}^{\text{lin}}(t_{1}) -\sigma_{\text{tran}}^{\text{lin}}(t_{2}) \Vert\end{array}` *Sans contraintes thermiques ni de pression* , pour la situation 1 :math:`{S}_{n}=20` (à l'origine et à l'extrémité). *Avec contraintes sous forme de transitoire,* on calcule les amplitudes maximales de contraintes thermiques+pression linéarisées à l'origine puis à l'extrémité. *Situation 1* +---------+-----------------------------------------------+---------------------------------------------+-----------------------------------------------+-----------------------------------------------+-----------------------------------------------+ | Instant | Contraintes thermiques+pression | :math:`{\sigma}^{\mathit{moyen}}` | :math:`{\sigma}^{\mathit{flexion}}` | :math:`{\sigma}_{0}^{\mathit{lin}}` | :math:`{\sigma}_{L}^{\mathit{lin}}` | | +-----------------------------------------------+ | | | | | | Abscisse | | | | | | +---------------------------------+------+------+ | | | | | | 0 | 1 | 2 | | | | | +---------+---------------------------------+------+------+---------------------------------------------+-----------------------------------------------+-----------------------------------------------+-----------------------------------------------+ | 1, 5 | 180 | 200 | 220 | 200 | 20 | 180 | 220 | +---------+---------------------------------+------+------+---------------------------------------------+-----------------------------------------------+-----------------------------------------------+-----------------------------------------------+ | 2, 5 | 0 | 200 | -180 | 55 | -90 | 145 | -35 | +---------+---------------------------------+------+------+---------------------------------------------+-----------------------------------------------+-----------------------------------------------+-----------------------------------------------+ | 3, 5 | 200 | -100 | -200 | -50 | -200 | 150 | -250 | +---------+---------------------------------+------+------+---------------------------------------------+-----------------------------------------------+-----------------------------------------------+-----------------------------------------------+ | 4, 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | +---------+---------------------------------+------+------+---------------------------------------------+-----------------------------------------------+-----------------------------------------------+-----------------------------------------------+ .. csv-table:: "Instant 1", "Instant 2", ":math:`{\mathit{Sn}}_{0}`", ":math:`{\mathit{Sn}}_{L}`" "1, 5", "2, 5", "35", "255" "1, 5", "3, 5", "30", "**470**" "1, 5", "4, 5", "18 **0**", "220" "2, 5", "3, 5", "5", "215" "2, 5", "4, 5", "145", "35" "3, 5", "4, 5", "150", "250" Pour la situation 1 avec contraintes sous forme de transitoire, :math:`{\mathit{Sn}}_{0}=20+180=200` et :math:`{\mathit{Sn}}_{L}=20+470=490` . *Situation 2* *Sans contraintes thermiques ni de pression* , pour la situation 2 :math:`{S}_{n}=60` (à l'origine et à l'extrémité). La situation 2 n'a pas de contraintes de pression donc le calcul de la partie sous forme de transitoire est le même qu'en ZE200a (cf :numref:`v3.04.161-calcul-sn`). Pour la situation 2 avec contraintes thermiques, :math:`{\mathit{Sn}}_{0}=60+95=155` et :math:`{\mathit{Sn}}_{L}=60+220=280` . Calcul de Sn avec séisme ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ On vient ajouter la contribution du séisme à la grandeur Sn telle que :math:`S_{\mathit{nS}} = \begin{array}{c}C_{2} \frac{R}{I} \sqrt{\big( (M_{\mathit{xA}} - M_{\mathit{xB}} \pm 2 M_{\mathit{xS}})^2 +(M_{\mathit{yA}} - M_{\mathit{yB}} \pm 2 M_{\mathit{yS}})^2 +(M_{\mathit{zA}} - M_{\mathit{zB}} \pm 2 M_{\mathit{zS}})^2 \big)} + \Vert \sigma_{\text{tran}}^{\text{lin}}(t_{1}) -\sigma_{\text{tran}}^{\text{lin}}(t_{2}) \Vert \end{array}` *Pour la situation 1 sans contraintes sous forme de transitoire,* :math:`{S}_{\mathit{nS}}=\begin{array}{c}{C}_{2}\frac{R}{I}\sqrt{({({M}_{\mathit{xA}}-{M}_{\mathit{xB}}\pm 2{M}_{\mathit{xS}})}^{2})}\end{array}=2\ast \frac{0,5}{1}\sqrt{({(21-1\pm 2\ast 21)}^{2})}=62` àl'origine et à l'extrémité. *Pour la situation 2 sans contraintes sous forme de transitoire,* :math:`{S}_{\mathit{nS}}=\begin{array}{c}{C}_{2}\frac{R}{I}\sqrt{({({M}_{\mathit{xA}}-{M}_{\mathit{xB}}\pm 2{M}_{\mathit{xS}})}^{2})}\end{array}=2\ast \frac{0,5}{1}\sqrt{({(1-61\pm 2\ast 21)}^{2})}=102` à l'origine et à l'extrémité. Incertitude sur la solution --------------------------- Solution analytique.