2. Solution de référence#
2.1. Résultats de référence#
2.1.1. Calcul des facteurs d’intensité des contraintes#
La solution de référence pour une fissure débouchante de profondeur a dans une plaque d’épaisseur \(W\) sollicitée en mode \(I\) pur (force \(\sigma\) suivant l’axe \(y\) ) est la suivante:
\({K}_{I}=Y\sigma \sqrt{a}\) , avec \(Y=1.99-0.41\frac{a}{W}+18.7{(\frac{a}{W})}^{2}-38.48{(\frac{a}{W})}^{3}+53.85{(\frac{a}{W})}^{4}\)
Application numérique: pour une fissure de \(15\mathit{mm}\) de profondeur (\(W=72\mathit{mm}\) ) et le chargement \({f}^{0}\) , on obtient \({K}_{I}=2,874\mathit{MPa.}\sqrt{\mathit{mm}}\) .
2.1.2. Calcul des contraintes autour du fond de fissure#
La solution analytique pour la contrainte sur un cercle de rayon \(r\) autour du fond de fissure, obtenue pour une fissure en milieu infini, est la suivante:
\({\sigma}_{\theta \theta }=\frac{{K}_{I}}{4\sqrt{2\pi r}}(3\cos\frac{\theta}{2}+\cos\frac{3\theta }{2})\)
Application numérique: pour le chargement \({f}^{0}\) et pour un rayon \(r={R}_{\mathit{AMORC}}=0,046\mathit{mm}\) , on obtient:
\(\theta =0\) : \({\sigma}_{\theta \theta }=53.5\mathit{MPa}\) ; \(\theta =\pi /2\) : \({\sigma}_{\theta \theta }=18.9\mathit{MPa}\)
2.1.3. Calcul du facteur d’amorçage#
Le facteur d’amorçage associé à la singularité géométrique en \(P\) est calculé analytiquement en suivant la procédure prescrite dans le RCC-M [bib3]. Tous les instants fournis sont considérés comme des extrema locaux et sont donc retenus dans le calcul.
On note \({s}^{0}\) la valeur de \({\sigma}_{\theta \theta }\) relevée à un rayon \(r\) du fond de fissure, à un angle \(\theta\) donné pour le chargement \({f}^{0}\) . On peut construire alors le tableau des amplitudes de variation de \({\sigma}_{\theta \theta }\) pour toutes les combinaisons possibles:
Transitoire 1 |
Transitoire 2 |
||||||
\({\mathrm{Nb}}_{\mathrm{occur}}=i\) |
\({\mathrm{Nb}}_{\mathrm{occur}}=j\) |
||||||
\(t=0\) |
\(t=1\) |
\(t=0\) |
\(t=1\) |
\(t=2\) |
|||
Transitoire 1 |
\({\mathit{Nb}}_{\mathit{occur}}=i\) |
\(t=0\) |
_ |
\(100s°\) |
\(10s°\) |
\(110s°\) |
\(50s°\) |
\(t=1\) |
_ |
_ |
\(90s°\) |
\(10s°\) |
\(50s°\) |
||
Transitoire 2 |
\({\mathrm{Nb}}_{\mathrm{occur}}=j\) |
\(t=0\) |
_ |
_ |
_ |
\(100s°\) |
\(40s°\) |
\(t=1\) |
_ |
_ |
_ |
_ |
\(60s°\) |
||
\(t=2\) |
_ |
_ |
_ |
_ |
_ |
||
La prise en compte du rapport de charge \(R\) de chaque combinaison permet de calculer l’amplitude de variation des contraintes efficaces \(\Delta {\sigma}_{\mathit{eff}}\) :
Transitoire 1 |
Transitoire 2 |
||||||
\({\mathrm{Nb}}_{\mathrm{occur}}=i\) |
\({\mathrm{Nb}}_{\mathrm{occur}}=j\) |
||||||
\(t=0\) |
\(t=1\) |
\(t=0\) |
\(t=1\) |
\(t=2\) |
|||
Transitoire 1 |
\({\mathit{Nb}}_{\mathit{occur}}=i\) |
\(t=0\) |
_ |
\(100s°\) |
\(10s°\) |
\(110s°\) |
\(50s°\) |
\(t=1\) |
_ |
_ |
\(95,6s°\) |
\(22,6s°\) |
\(72,1s°\) |
||
Transitoire 2 |
\({\mathrm{Nb}}_{\mathrm{occur}}=j\) |
\(t=0\) |
_ |
_ |
_ |
\(105,9s°\) |
\(45,6s°\) |
\(t=1\) |
_ |
_ |
_ |
_ |
\(83,6s°\) |
||
\(t=2\) |
_ |
_ |
_ |
_ |
_ |
||
Le calcul du facteur d’amorçage \(\mathrm{FA}\) s’effectue selon un processus itératif:
identification du transitoire de nombre d’occurrences non nul conduisant au maximum de \(\Delta \sigma_{\theta \theta}\) ;
calcul du facteur d’amorçage élémentaire associé, à l’aide de la loi de fatigue;
réactualisation du nombre d’occurrences de la combinaison traitée.
Deux cas sont successivement étudiés avec les nombres d’occurrences des deux transitoires suivants: \(i=j=1\) et \(i=\mathrm{1 };j=2\) . On note \({N}_{kl-\mathrm{mn}}\) le nombre de cycles admissibles pour la combinaison du \(l\) -ième pas de temps du \(k\) -ième transitoire et du \(n\) -ième pas de temps du \(m\) -ième transitoire (calculé à partie de \(\Delta \sigma_{\theta \theta}\) de cette combinaison et de la loi de fatigue).
1er cas :
2ème cas :
Application numérique: pour la modélisation A de ce cas test, on suppose que \(s°=1\) . On a donc:
\({FA}_{1}=2,005{.10}^{-10}\) ; \({FA}_{2}=2,710{.10}^{-10}\)
Pour la modélisation B, la valeur de \(s°\) dépend de l’angle \(\theta\) , et peut être calculée à l’aide de la formule indiquée dans la Section 2.1.2 .
2.2. Références bibliographiques#
[bib1] W.F. BROWN, J.E. STRAWLEY: «Plane Strain Crack Toughness Testing of High Strength Material», American Society of Testing and Materials, STP 410
[bib2] J.B. LEBLOND: «Mécanique de la rupture fragile et ductile», Lavoisier, Paris, 2003.
RCC-M: «Mécanique de la rupture fragile et ductile», Lavoisier, Paris, 2003.