Solution de référence ===================== Résultats de référence ---------------------- Calcul des facteurs d’intensité des contraintes ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ La solution de référence pour une fissure débouchante de profondeur *a* dans une plaque d’épaisseur :math:`W` sollicitée en mode :math:`I` pur (force :math:`\sigma` suivant l’axe :math:`y` ) est la suivante: :math:`{K}_{I}=Y\sigma \sqrt{a}` , avec :math:`Y=1.99-0.41\frac{a}{W}+18.7{(\frac{a}{W})}^{2}-38.48{(\frac{a}{W})}^{3}+53.85{(\frac{a}{W})}^{4}` *Application numérique:* pour une fissure de :math:`15\mathit{mm}` de profondeur (:math:`W=72\mathit{mm}` ) et le chargement :math:`{f}^{0}` , on obtient :math:`{K}_{I}=2,874\mathit{MPa.}\sqrt{\mathit{mm}}` . .. _v3.04.147-calcul-contraintes-fond-fissure: Calcul des contraintes autour du fond de fissure ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ La solution analytique pour la contrainte sur un cercle de rayon :math:`r` autour du fond de fissure, obtenue pour une fissure en milieu infini, est la suivante: :math:`{\sigma}_{\theta \theta }=\frac{{K}_{I}}{4\sqrt{2\pi r}}(3\cos\frac{\theta}{2}+\cos\frac{3\theta }{2})` *Application numérique:* pour le chargement :math:`{f}^{0}` et pour un rayon :math:`r={R}_{\mathit{AMORC}}=0,046\mathit{mm}` , on obtient: :math:`\theta =0` : :math:`{\sigma}_{\theta \theta }=53.5\mathit{MPa}` ; :math:`\theta =\pi /2` : :math:`{\sigma}_{\theta \theta }=18.9\mathit{MPa}` Calcul du facteur d’amorçage ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Le facteur d’amorçage associé à la singularité géométrique en :math:`P` est calculé analytiquement en suivant la procédure prescrite dans le RCC-M [bib3]_. Tous les instants fournis sont considérés comme des extrema locaux et sont donc retenus dans le calcul. On note :math:`{s}^{0}` la valeur de :math:`{\sigma}_{\theta \theta }` relevée à un rayon :math:`r` du fond de fissure, à un angle :math:`\theta` donné pour le chargement :math:`{f}^{0}` . On peut construire alors le tableau des amplitudes de variation de :math:`{\sigma}_{\theta \theta }` pour toutes les combinaisons possibles: +----------------------------------------------------------------------------+-----------------------------------------+---------------------------------------------+ | | Transitoire 1 | Transitoire 2 | +----------------------------------------------------------------------------+-----------------------------------------+---------------------------------------------+ | | :math:`{\mathrm{Nb}}_{\mathrm{occur}}=i`| :math:`{\mathrm{Nb}}_{\mathrm{occur}}=j` | +----------------------------------------------------------------------------+----------------------+------------------+--------------+---------------+--------------+ | | :math:`t=0` | :math:`t=1` | :math:`t=0` | :math:`t=1` | :math:`t=2` | +-----------------+------------------------------------------+---------------+----------------------+------------------+--------------+---------------+--------------+ | Transitoire 1 | :math:`{\mathit{Nb}}_{\mathit{occur}}=i` | :math:`t=0` | _ | :math:`100s°` | :math:`10s°` | :math:`110s°` | :math:`50s°` | | | +---------------+----------------------+------------------+--------------+---------------+--------------+ | | | :math:`t=1` | _ | _ | :math:`90s°` | :math:`10s°` | :math:`50s°` | +-----------------+------------------------------------------+---------------+----------------------+------------------+--------------+---------------+--------------+ | Transitoire 2 | :math:`{\mathrm{Nb}}_{\mathrm{occur}}=j` | :math:`t=0` | _ | _ | _ | :math:`100s°` | :math:`40s°` | | | +---------------+----------------------+------------------+--------------+---------------+--------------+ | | | :math:`t=1` | _ | _ | _ | _ | :math:`60s°` | | | +---------------+----------------------+------------------+--------------+---------------+--------------+ | | | :math:`t=2` | _ | _ | _ | _ | _ | +-----------------+------------------------------------------+---------------+----------------------+------------------+--------------+---------------+--------------+ La prise en compte du rapport de charge :math:`R` de chaque combinaison permet de calculer l’amplitude de variation des contraintes efficaces :math:`\Delta {\sigma}_{\mathit{eff}}` : +----------------------------------------------------------------------------+-----------------------------------------+------------------------------------------------+ | | Transitoire 1 | Transitoire 2 | +----------------------------------------------------------------------------+-----------------------------------------+------------------------------------------------+ | | :math:`{\mathrm{Nb}}_{\mathrm{occur}}=i`| :math:`{\mathrm{Nb}}_{\mathrm{occur}}=j` | +----------------------------------------------------------------------------+----------------------+------------------+---------------+----------------+---------------+ | | :math:`t=0` | :math:`t=1` | :math:`t=0` | :math:`t=1` | :math:`t=2` | +-----------------+------------------------------------------+---------------+----------------------+------------------+---------------+----------------+---------------+ | Transitoire 1 | :math:`{\mathit{Nb}}_{\mathit{occur}}=i` | :math:`t=0` | _ | :math:`100s°` | :math:`10s°` | :math:`110s°` | :math:`50s°` | | | +---------------+----------------------+------------------+---------------+----------------+---------------+ | | | :math:`t=1` | _ | _ | :math:`95,6s°`| :math:`22,6s°` | :math:`72,1s°`| +-----------------+------------------------------------------+---------------+----------------------+------------------+---------------+----------------+---------------+ | Transitoire 2 | :math:`{\mathrm{Nb}}_{\mathrm{occur}}=j` | :math:`t=0` | _ | _ | _ | :math:`105,9s°`| :math:`45,6s°`| | | +---------------+----------------------+------------------+---------------+----------------+---------------+ | | | :math:`t=1` | _ | _ | _ | _ | :math:`83,6s°`| | | +---------------+----------------------+------------------+---------------+----------------+---------------+ | | | :math:`t=2` | _ | _ | _ | _ | _ | +-----------------+------------------------------------------+---------------+----------------------+------------------+---------------+----------------+---------------+ Le calcul du facteur d’amorçage :math:`\mathrm{FA}` s’effectue selon un processus itératif: 1. identification du transitoire de nombre d’occurrences non nul conduisant au maximum de :math:`\Delta \sigma_{\theta \theta}` ; 2. calcul du facteur d’amorçage élémentaire associé, à l’aide de la loi de fatigue; 3. réactualisation du nombre d’occurrences de la combinaison traitée. Deux cas sont successivement étudiés avec les nombres d’occurrences des deux transitoires suivants: :math:`i=j=1` et :math:`i=\mathrm{1 };j=2` . On note :math:`{N}_{kl-\mathrm{mn}}` le nombre de cycles admissibles pour la combinaison du :math:`l` -ième pas de temps du :math:`k` -ième transitoire et du :math:`n` -ième pas de temps du :math:`m` -ième transitoire (calculé à partie de :math:`\Delta \sigma_{\theta \theta}` de cette combinaison et de la loi de fatigue). **1er cas :** .. math:: FA_1 = \frac{1}{N_{11-22}} + \frac{1}{N_{12-21}} + \frac{1}{N_{22-23}} **2ème cas :** .. math:: FA_2 = \frac{1}{N_{11-22}} + \frac{1}{N_{11-12}} + \frac{1}{N_{12-21}} + \frac{1}{N_{22-23}} *Application numérique:* pour la modélisation A de ce cas test, on suppose que :math:`s°=1` . On a donc: :math:`{FA}_{1}=2,005{.10}^{-10}` ; :math:`{FA}_{2}=2,710{.10}^{-10}` Pour la modélisation B, la valeur de :math:`s°` dépend de l’angle :math:`\theta` , et peut être calculée à l’aide de la formule indiquée dans la :numref:`v3.04.147-calcul-contraintes-fond-fissure` . .. math:: \theta = 0^\circ : \quad \sigma^\circ = 53{,}5 \text{ MPa}, \quad FA_1 = 0{,}607 ; \quad FA_2 = 0{,}819 .. math:: \theta = 90^\circ : \quad \sigma^\circ = 18{,}9 \text{ MPa}, \quad FA_1 = 2{,}01 \cdot 10^{-3} ; \quad FA_2 = 2{,}72 \cdot 10^{-3} Références bibliographiques --------------------------- [bib1] W.F. BROWN, J.E. STRAWLEY: «Plane Strain Crack Toughness Testing of High Strength Material», American Society of Testing and Materials, STP 410 [bib2] J.B. LEBLOND: «Mécanique de la rupture fragile et ductile», Lavoisier, Paris, 2003. .. [bib3] RCC-M: «Mécanique de la rupture fragile et ductile», Lavoisier, Paris, 2003.