1. Problème de référence#

1.1. Géométrie#

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Figure 1.1-a

La géométrie de la structure est une boule de rayon unitaire pour la solution analytique.

1.2. Propriétés des matériaux#

Dans le contexte des milieux du second gradient, il est nécessaire de définir des propriétés matériaux pour les parties rattachées aux premier et second gradients du champ de déplacement. Les propriétés du matériau n’ont aucune pertinence physique mais ont été établis pour simplifier les applications analytiques.

      • Module d’Young: \(\text{E}=1\text{Pa}\) ;

      • Coefficient de Poisson: \(\nu =0\) ;

      • Module de rigidité de second gradient: \({a}_{1}=0.25{\text{Pa.m}}^{2}\) .

1.3. Conditions aux limites et chargements#

Pour des raisons de simplifications numériques, on ne considère qu’un huitième de la boule par symétrie :

  • \(\mathit{DX}=0\) sur le GROUP_MA “SYME_X”

  • \(\mathit{DY}=0\) sur le GROUP_MA “SYME_Y”

  • \(\mathit{DZ}=0\) sur le GROUP_MA “SYME_Z”

Pour des raisons de simplifications numériques, on ne modélise pas la boule mais le cube inscrit de cette boule pour l’application des conditions aux limites. On applique ainsi dans le repère \(X=(x,y,z)\) :

  • \({U}_{R}(X)=(\frac{{r}^{4}}{7}-\frac{1}{3})X\) pour les composantes DX, DYet DZdu GROUP_MA’BORD_EXT” où \(r\) est la distance entre l’origine de la boule et le point de coordonnée \(X\) .

  • \({G}_{R}(X)=({r}^{4}-1)\) pour les composantes GONFdu GROUP_MA’BORD_EXT”.

On applique enfin les forces internes suivantes dans le repère \(X=(x,y,z)\) :

\({F}_{I}(X)=4(10-{r}^{2})X\) pour les composantes FX, FYet FZdu GROUP_MA’BORD_EXT”