2. Solution de référence#

2.1. Méthode de calcul#

Pour déterminer la solution analytique, on se base sur l’équation de la déformation totale d’une plaque avec prise en compte de la dilatation thermique:

\(\epsilon \left(u\right)=\left(\begin{array}{c}{E}_{11}\\ {E}_{22}\\ {E}_{12}\end{array}\right)+{x}_{3}\left(\begin{array}{c}{K}_{11}\\ {K}_{22}\\ {K}_{12}\end{array}\right)+{\epsilon}^{\text{th}}\text{et}{\epsilon}^{\text{th}}=\left(\begin{array}{c}{d}_{11}\\ {d}_{22}\\ {d}_{12}\end{array}\right).\left(T\left({x}_{3}\right)-{T}^{\text{réf}}\right)\)

Avec:

\({E}_{ij}=\frac{\partial {U}_{i}}{\partial {X}_{j}};{K}_{ij}=\frac{\partial {\beta}_{i}}{\partial {X}_{j}};i,j=1,2\) \({U}_{i}\) étant le déplacement dans la direction i et \({X}_{i}\) la coordonnée suivant i. \({E}_{ij}\) est la déformation membranaire pure tandis que \({K}_{ij}\) représente la courbure. Les conditions aux limites sont telles que \({E}_{ij}={K}_{ij}=0\) .

et

\({d}^{\left(m\right)}=\left(\begin{array}{c}{d}_{11}\\ {d}_{22}\\ {d}_{12}\end{array}\right)={P}^{{m}^{-1}}{\left(\begin{array}{c}{\alpha}_{\text{LL}}\\ {\alpha}_{\text{TT}}\\ 0\end{array}\right)}_{\left(L,T\right)}=\left(\begin{array}{cc}{C}^{2}& {S}^{2}\\ {S}^{2}& {C}^{2}\\ 2\text{CS}& -2\text{CS}\end{array}\right){\left(\begin{array}{c}{\alpha}_{LL}\\ {\alpha}_{\mathit{TT}}\end{array}\right)}_{\left(L,T\right)}\)

\({P}^{(m)}=\left[\begin{array}{ccc}{C}^{2}& {S}^{2}& 2\text{CS}\\ {S}^{2}& {C}^{2}& -2\text{CS}\\ -\text{CS}& \text{CS}& {C}^{2}-{S}^{2}\end{array}\right]\) avec \(\begin{array}{c}C=1\\ S=0\end{array}\)

Au final, on détermine analytiquement l’expression de la déformation :

\(\epsilon \left(u\right)={\epsilon}^{\text{th}}=\left(\begin{array}{c}{\alpha}_{\text{LL}}\\ {\alpha}_{\text{TT}}\\ {0}_{\rbrace \end{array}\right).1\)

2.2. Grandeurs et résultats de référence#

On teste la grandeur EPSI_ELGA qui représente la valeur de la déformation en un point de gauss intérieur à la plaque. Elle testée sur la maille M1, point 1 et au sous-point 1.

2.3. Incertitudes sur la solution#

Aucune incertitude sur la solution de référence car elle analytique.

2.4. Références bibliographiques#

  1. Documentation théorique R4.01.01, Pré et Post-traitement pour les coques minces en matériaux composites .

    1. DHATT, G. TOUZOT, « Modélisation des structure éléments finis », volume 2: poutres et plaques page 238-240, Hermès Paris, 1990.

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