Solution de référence
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Méthode de calcul
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Pour déterminer la solution analytique, on se base sur l'équation de la déformation totale d'une plaque avec prise en compte de la dilatation thermique:

:math:`\epsilon \left(u\right)=\left(\begin{array}{c}{E}_{11}\\ {E}_{22}\\ {E}_{12}\end{array}\right)+{x}_{3}\left(\begin{array}{c}{K}_{11}\\ {K}_{22}\\ {K}_{12}\end{array}\right)+{\epsilon}^{\text{th}}\text{et}{\epsilon}^{\text{th}}=\left(\begin{array}{c}{d}_{11}\\ {d}_{22}\\ {d}_{12}\end{array}\right).\left(T\left({x}_{3}\right)-{T}^{\text{réf}}\right)`

Avec:

:math:`{E}_{ij}=\frac{\partial {U}_{i}}{\partial {X}_{j}};{K}_{ij}=\frac{\partial {\beta}_{i}}{\partial {X}_{j}};i,j=1,2` :math:`{U}_{i}` étant le déplacement dans la direction i et :math:`{X}_{i}` la coordonnée suivant i. :math:`{E}_{ij}` est la déformation membranaire pure tandis que :math:`{K}_{ij}` représente la courbure. Les conditions aux limites sont telles que :math:`{E}_{ij}={K}_{ij}=0` .

et

:math:`{d}^{\left(m\right)}=\left(\begin{array}{c}{d}_{11}\\ {d}_{22}\\ {d}_{12}\end{array}\right)={P}^{{m}^{-1}}{\left(\begin{array}{c}{\alpha}_{\text{LL}}\\ {\alpha}_{\text{TT}}\\ 0\end{array}\right)}_{\left(L,T\right)}=\left(\begin{array}{cc}{C}^{2}& {S}^{2}\\ {S}^{2}& {C}^{2}\\ 2\text{CS}& -2\text{CS}\end{array}\right){\left(\begin{array}{c}{\alpha}_{LL}\\ {\alpha}_{\mathit{TT}}\end{array}\right)}_{\left(L,T\right)}`

:math:`{P}^{(m)}=\left[\begin{array}{ccc}{C}^{2}& {S}^{2}& 2\text{CS}\\ {S}^{2}& {C}^{2}& -2\text{CS}\\ -\text{CS}& \text{CS}& {C}^{2}-{S}^{2}\end{array}\right]` avec :math:`\begin{array}{c}C=1\\ S=0\end{array}`

Au final, on détermine analytiquement l'expression de la déformation :

:math:`\epsilon \left(u\right)={\epsilon}^{\text{th}}=\left(\begin{array}{c}{\alpha}_{\text{LL}}\\ {\alpha}_{\text{TT}}\\ {0}_{\rbrace \end{array}\right).1`


Grandeurs et résultats de référence
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On teste la grandeur EPSI_ELGA qui représente la valeur de la déformation en un point de gauss intérieur à la plaque. Elle testée sur la maille M1, point 1 et au sous-point 1.


Incertitudes sur la solution
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Aucune incertitude sur la solution de référence car elle analytique.


Références bibliographiques
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1.  Documentation théorique R4.01.01, *Pré et Post-traitement pour les coques minces* *en matériaux composites* .


2.  G. DHATT, G. TOUZOT, "Modélisation des structure éléments finis", volume 2: poutres et plaques page 238-240, Hermès Paris, 1990.

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