1. Problème de référence#

1.1. Géométrie#

On considère une plaque carrée de coté \(1m\) et d’épaisseur \(h\) .

1.2. Propriétés du matériau#

Néant.

1.3. Conditions aux limites et chargements#

On n’appelle pas d’opérateur de résolution mécanique, on donne en entrée de VERI_FERRAILLAGE des champs d’efforts généralisés (de calcul et de reférence) et de ferraillage analytiques, dans les configurations suivantes:

1.3.1. Paramètres à l’ELU#

On considérera à l’ELU 4 configurations sur lesquelles on lancera le calcul de la marge:

  • Configuration 1 - Calcul avec champ d’efforts généralisés de reférence nul

    • Epaisseur de la plaque \(h = 0.5 m\)

    • calcul à l’EC2

    • Armatures symétriques dans les directions X et Y: \({A}_{\mathit{s,inf}}={A}_{\mathit{s,sup}}=15,7\mathit{cm}\mathrm{²}/m\mathrm{²}\)

    • enrobage supérieur de \({c}_{\mathit{sup}}=8\mathit{cm}\)

    • enrobage inférieur de \({c}_{\mathit{inf}}=8\mathit{cm}\)

    • limite d’élasticité de l’acier \({f}_{\mathit{yk}}=500\mathit{MPa}\)

    • module d’Young de l’acier \({E}_{\mathit{ys}}=200 000\mathit{MPa}\)

    • type de diagramme σ-ε pour l’acier = ‘B2’

    • résistance caractéristique du béton: \({f}_{\mathit{ck}}=35\mathit{MPa}\)

    • masse volumique de l’acier \({\rho}_{\mathit{s}}=7800\mathit{kg}/m\mathrm{³}\)

    • acier de classe B

    • \({\alpha}_{\mathit{cc}}=1.0 / {\gamma}_{\mathit{c}}=1.5 / {\gamma}_{\mathit{s}}=1.15\)

  • Configuration 2 - Calcul avec champ d’efforts généralisés de reférence de compression pure

    Les paramètres sont identiques à la configuration n°1, à la différence du champ d’efforts généralisés de référence pour le calcul de la marge qui est non nul.

  • Configuration 3 - Calcul avec champ d’efforts généralisés de reférence nul

    • Epaisseur de la plaque \(h = 1 m\)

    • calcul à l’EC2

    • Armatures supérieures dans les directions X et Y: \({A}_{\mathit{s,sup}}=0\mathit{cm}\mathrm{²}/m\mathrm{²}\)

    • Armatures inférieures dans les directions X et Y: \({A}_{\mathit{s,inf}}=40.21\mathit{cm}\mathrm{²}/m\mathrm{²}\)

    • enrobage supérieur de \({c}_{\mathit{sup}}=8\mathit{cm}\)

    • enrobage inférieur de \({c}_{\mathit{inf}}=8\mathit{cm}\)

    • limite d’élasticité de l’acier \({f}_{\mathit{yk}}=500\mathit{MPa}\)

    • module d’Young de l’acier \({E}_{\mathit{ys}}=200 000\mathit{MPa}\)

    • type diagramme (σ-ε) pour l’acier = ‘B2’

    • résistance caractéristique du béton: \({f}_{\mathit{ck}}=40\mathit{MPa}\)

    • masse volumique de l’acier \({\rho}_{\mathit{s}}=7800\mathit{kg}/m\mathrm{³}\)

    • acier de classe B

    • \({\alpha}_{\mathit{cc}}=1.0 / {\gamma}_{\mathit{c}}=1.5 / {\gamma}_{\mathit{s}}=1.15\)

  • Configuration 4 - Calcul avec le code BAEL91 Les paramètres sont identiques à la configuration n°1, à la différence du code de calcul utilisé dans le mot-clé CODIFICATION qui est BAEL91.

1.3.2. Paramètres à l’ELS#

On considérera à l’ELS une configuration sur laquelle on lancera le calcul de la marge:

  • Epaisseur de la plaque \(h = 0.5 m\)

  • calcul à l’EC2

  • Armatures symétriques dans les directions X et Y: \({A}_{\mathit{s,inf}}={A}_{\mathit{s,sup}}=15,7\mathit{cm}\mathrm{²}/m\mathrm{²}\)

  • enrobage supérieur de \({c}_{\mathit{sup}}=8\mathit{cm}\)

  • enrobage inférieur de \({c}_{\mathit{inf}}=8\mathit{cm}\)

  • contrainte maximale autorisée dans l’acier: \({\sigma}_{\mathit{s,max}}=40\mathit{MPa}\)

  • contrainte de compression maximale au niveau de la face inférieure de béton: \({\sigma}_{\mathit{c,inf,max}}=18\mathit{MPa}\)

  • contrainte de compression maximale au niveau de la face supérieure de béton: \({\sigma}_{\mathit{c,sup,max}}=18\mathit{MPa}\)

  • coefficient d’équivalence acier-béton: \({n}=14\)

1.3.3. Cas de chargements à l’ELU#

Les chargements sont appliqués suivant l’axe Y. Ainsi, l’orientation de la facette critique est évidente.

  • Cas de chargements dans la configuration 1

Les chargements sont choisis tel qu’ils soient proportionnels à des couples (\(N\) , \(M\)) appartenant au diagramme d’interaction de la facette critique. Ainsi, on peut tester différents pivots et la marge se calcule facilement de façon analytique. Ces couples correspondent aux points de référence du diagramme d’interaction calculés dans la configuration 1 à l’ELU dans la partie SSLS142 [v3.03.142]. Le diagramme d’interaction et les points de reférence pour le choix du champ d’efforts généralisés sont reportés dans la figure et le tableau ci-dessous:

_images/tab1.png

Fig. 1.1 Diagramme d’interaction M-N et points de reférence.#

Points de reférence

Effort normal de reférence N en MN

Moment fléchissant de reférence M en MNm

A

-1.365

0

B

1.666

0.587

C

4.894

0.928

D

10.303

0.483

E

12.923

0

D”

10.303

-0.483

C”

4.894

-0.928

B”

1.666

-0.587

10 cas de chargements sont considérés:

  1. force de traction de \(0.5\times N_A\) exercée suivant l’axe \(\text{Y}\);

  2. force de traction de \(2\times N_A\) exercée suivant l’axe \(\text{Y}\);

  3. force de compression de \(0.7\times N_B\) exercée suivant l’axe \(\text{Y}\) et un moment de flexion de \(0.7\times M_B\) autour de l’axe \(\text{Y}\);

  4. force de compression de \(0.2\times N_C\) exercée suivant l’axe \(\text{Y}\) et un moment de flexion de \(0.2\times M_C\) autour de l’axe \(\text{Y}\);

  5. force de compression de \(0.8\times N_D\) exercée suivant l’axe \(\text{Y}\) et un moment de flexion de \(0.8\times M_D\) autour de l’axe \(\text{Y}\);

  6. force de compression de \(0.0\times N_D\) exercée suivant l’axe \(\text{Y}\);

  7. force de compression de \(0.4\times N_D\) exercée suivant l’axe \(\text{Y}\);

  8. force de compression de \(0.7\times N_B'\) exercée suivant l’axe \(\text{Y}\) et un moment de flexion de \(0.7\times M_B'\) autour de l’axe \(\text{Y}\);

  9. force de compression de \(0.2\times N_C'\) exercée suivant l’axe \(\text{Y}\) et un moment de flexion de \(0.2\times M_C'\) autour de l’axe \(\text{Y}\);

  10. force de compression de \(0.8\times N_D'\) exercée suivant l’axe \(\text{Y}\) et un moment de flexion de \(0.8\times M_D'\) autour de l’axe \(\text{Y}\).

  • Cas de chargements dans la configuration 2

Dans la configuration 2, une force de compression de reférence de \(0.2\times N_E\) exercée suivant l’axe \(\text{Y}\) est considérée.

4 cas de chargements sont considérés:

  1. force de traction de \(0.5\times N_A\) exercée suivant l’axe \(\text{Y}\);

  2. force de traction de \(2\times N_A\) exercée suivant l’axe \(\text{Y}\);

  3. force de compression de \(0.8\times N_D\) exercée suivant l’axe \(\text{Y}\) et un moment de flexion de \(0.8\times M_D\) autour de l’axe \(\text{Y}\);

  4. force de compression de \(0.0\times N_D\) exercée suivant l’axe \(\text{Y}\);

  • Cas de chargements dans la configuration 3

On impose un chargement égal au chargement ultime obtenu avec la FEUILLE DIPDE [bib1] pour les mêmes propriétés géométriques et mécaniques de la section critique. 4 cas de chargements sont considérés.

  1. cas de rupture en pivot A: un moment de flexion de \(1.534 MNm\) autour de l’axe \(\text{Y}\);

  2. cas de rupture en pivot B avec armature inférieure tendue: une force de compression de \(5 MN\) exercée suivant l’axe \(\text{Y}\) et un moment de flexion de \(3.23 MNm\) autour de l’axe \(\text{Y}\);

  3. cas de rupture en pivot B avec armature inférieure comprimée: une force de compression de \(20 MN\) exercée suivant l’axe \(\text{Y}\) et un moment de flexion de \(2.29 MNm\) autour de l’axe \(\text{Y}\);

  4. cas de rupture en pivot C: une force de compression de \(25 MN\) exercée suivant l’axe \(\text{Y}\) et un moment de flexion de \(0.55 MNm\) autour de l’axe \(\text{Y}\).

  • Cas de chargements dans la configuration 4

Identiques à la configuration 1.

1.3.4. Cas de chargements à l’ELS Caractéristique#

Les chargements sont choisis tel qu’ils soient proportionnels à des couples (\(N\) , \(M\)) appartenant au diagramme d’interaction de la facette critique. Ainsi, on peut tester différents pivots et la marge se calcule facilement de façon analytique. Ces couples correspondent aux points de référence du diagramme d’interaction calculés dans la configuration 1 à l’ELS dans la partie SSLS142 [v3.03.142]. Le diagramme d’interaction et les points de reférence pour le choix du champ d’efforts généralisés sont reportés dans la figure et le tableau ci-dessous:

_images/tab1_ELS.png

Fig. 1.2 Diagramme d’interaction M-N et points de reférence.#

Points de reférence

Effort normal de reférence en MN

Moment fléchissant de reférence en MNm

A

-1.256

0

B

1.034

0.427

C

4.896

0.421

D

9.791

0

C”

4.896

-0.421

B”

1.034

-0.427

8 cas de chargements sont considérés:

  1. force de traction de \(0.5\times N_A\) exercée suivant l’axe \(\text{Y}\);

  2. force de traction de \(2\times N_A\) exercée suivant l’axe \(\text{Y}\);

  3. force de compression de \(0.7\times N_B\) exercée suivant l’axe \(\text{Y}\) et un moment de flexion de \(0.7\times M_B\) autour de l’axe \(\text{Y}\);

  4. force de compression de \(0.2\times N_C\) exercée suivant l’axe \(\text{Y}\) et un moment de flexion de \(0.2\times M_C\) autour de l’axe \(\text{Y}\);

  5. force de compression de \(0.0\times N_D\) exercée suivant l’axe \(\text{Y}\);

  6. force de compression de \(0.4\times N_D\) exercée suivant l’axe \(\text{Y}\);

  7. force de compression de \(0.7\times N_B'\) exercée suivant l’axe \(\text{Y}\) et un moment de flexion de \(0.7\times M_B'\) autour de l’axe \(\text{Y}\);

  8. force de compression de \(0.2\times N_C'\) exercée suivant l’axe \(\text{Y}\) et un moment de flexion de \(0.2\times M_C'\) autour de l’axe \(\text{Y}\);

On considère aussi deux cas de chargement multidirectionnels permettant de mieux tester l’angle critique:

  1. force de traction de \(1 MN\) exercée suivant l’axe \(\text{Y}\), une force de traction de \(1 MN\) exercée suivant l’axe \(\text{X}\), et une force tangente de \(0.5 MN\);

  2. force de compression de \(6 MN\) exercée suivant l’axe \(\text{X}\), une force de compression de \(0.5 MN\) exercée suivant l’axe \(\text{Y}\), un moment de flexion de \(0.2 MNm\) autour de l’axe \(\text{X}\) et un moment de flexion de \(0.15 MNm\) autour de l’axe \(\text{Y}\);