2. Solution de référence

2.1. Grandeurs et résultats de référence

2.1.1. Modèle analytique de la plaque

On considère que la réponse de la plaque correspond à la réponse d’une poutre en console (car \(\nu =0\) ). Dans ce cas, le déplacement de la plaque est donné par les déplacements de chaque section de plaque, suivant la direction \(x(u)\) , \(z(w)\) et leur rotation par rapport à l’axe \(y({\theta}_{y})\) .

\({U}_{x}(x,z)=u(x)+z{\theta}_{y}(x)\) \({U}_{z}(x,z)=w(x)\)

En tout point , les déformations sont:

\({\varepsilon}_{xx}(x,z)=u'+z{\theta}_{y}'\) et \(2{\varepsilon}_{xz}(x,z)={\theta}_{y}+w'={\gamma}_{z}\)

La poutre est encastrée en \(x=0\) et soumis à une force verticale \(F\) en \(x=L\) .

La résolution (principe des travaux virtuels et l’équilibre des forces) donne l’expression des efforts généralisés dans le cas d’une réponse linéaire élastique: \(N\) est la force axiale, \({M}_{y}\) le moment suivant l’axe \(y\) et \(T\) l’effort tranchant.

\(N(x)=EAu'(x)\) et \(>\)

\({M}_{y}(x)=EI{\theta}_{y}'(x)\) \(>\)

\(T(x)=GkA{\gamma}_{z}\) \(>\)

où le paramètre \(k\) est le facteur de correction en cisaillement

avec les conditions aux limites, on en déduit les déplacements \(u,w\mathit{et}{\theta}_{y}\) :

\(>\) , \(>\) , \({\theta}_{y}(x)=\frac{F}{EI}\frac{x(x-2L)}{2}\)

Les déformations et contraintes sont:

\({\varepsilon}_{xx}=z\frac{-F}{EI}(L-x)\) et \({\sigma}_{xx}=z\frac{-F}{I}(L-x)\)

\(2{\varepsilon}_{xz}=\frac{F}{GkA}={\gamma}_{z}\) et \({\sigma}_{xz}=\frac{-F}{A}6({z}^{2}/{h}^{2}-1/4)\)

où \(h\) est la hauteur de la plaque. La distribution des contraintes en cisaillement est parabolique dans l’épaisseur de la plaque pour respecter les conditions de surface libre

( \({\sigma}_{xz}(z=h/2)={\sigma}_{xz}(z=-h/2)=0\) ).

La réponse verticale en déplacement du point \(x=L\) est:

\({U}_{z}(L)=\frac{F}{3EI}{L}^{3}+\frac{FL}{GkA}\)

2.2. Incertitudes sur la solution

La solution de référence est analytique. Il n’y a donc pas d’incertitude.