Solution de référence
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Grandeurs et résultats de référence
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Modèle analytique de la plaque
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On considère que la réponse de la plaque correspond à la réponse d'une poutre en console (car :math:`\nu =0` ). Dans ce cas, le déplacement de la plaque est donné par les déplacements de chaque section de plaque, suivant la direction :math:`x(u)` , :math:`z(w)` et leur rotation par rapport à l'axe :math:`y({\theta}_{y})` .

:math:`{U}_{x}(x,z)=u(x)+z{\theta}_{y}(x)` :math:`{U}_{z}(x,z)=w(x)`

En tout point , les déformations sont:

:math:`{\varepsilon}_{xx}(x,z)=u'+z{\theta}_{y}'` et :math:`2{\varepsilon}_{xz}(x,z)={\theta}_{y}+w'={\gamma}_{z}`

     La poutre est encastrée en :math:`x=0` et soumis à une force verticale :math:`F` en :math:`x=L` .

La résolution (principe des travaux virtuels et l'équilibre des forces) donne l'expression des efforts généralisés dans le cas d'une réponse linéaire élastique: :math:`N`  est la force axiale, :math:`{M}_{y}` le moment suivant l'axe :math:`y` et :math:`T` l'effort tranchant.

:math:`N(x)=EAu'(x)` et :math:`>`

:math:`{M}_{y}(x)=EI{\theta}_{y}'(x)` :math:`>`

:math:`T(x)=GkA{\gamma}_{z}` :math:`>`

     où le paramètre :math:`k` est le facteur de correction en cisaillement

avec les conditions aux limites, on en déduit les déplacements :math:`u,w\mathit{et}{\theta}_{y}` :

:math:`>` , :math:`>` , :math:`{\theta}_{y}(x)=\frac{F}{EI}\frac{x(x-2L)}{2}`

Les déformations et contraintes sont:

:math:`{\varepsilon}_{xx}=z\frac{-F}{EI}(L-x)` et :math:`{\sigma}_{xx}=z\frac{-F}{I}(L-x)`

:math:`2{\varepsilon}_{xz}=\frac{F}{GkA}={\gamma}_{z}` et :math:`{\sigma}_{xz}=\frac{-F}{A}6({z}^{2}/{h}^{2}-1/4)`

où :math:`h` est la hauteur de la plaque. La distribution des contraintes en cisaillement est parabolique dans l'épaisseur de la plaque pour respecter les conditions de surface libre

( :math:`{\sigma}_{xz}(z=h/2)={\sigma}_{xz}(z=-h/2)=0` ).

La réponse verticale en déplacement du point :math:`x=L` est:

:math:`{U}_{z}(L)=\frac{F}{3EI}{L}^{3}+\frac{FL}{GkA}`


Incertitudes sur la solution
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La solution de référence est analytique. Il n'y a donc pas d'incertitude.