2. Solution de référence

Pour chaque modélisation, l’objectif est de retrouver la bonne tension initiale de précontrainte du câble après l’application de CALC_PRECONT mais aussi de déterminer le déplacement maximal de la plaque au nœud \(D\) suivant l’axe \(z\) après application de la pression.

2.1. Résultats de référence

Pour déterminer le déplacement maximal, on utilise la théorie des poutres travaillant en flexion. Pour une poutre encastrée à une extrémité et libre de l’autre sous chargement réparti, le déplacement maximal à l’extrémité libre appelé flèche, est donné par:

\(f=-\frac{{\mathit{qL}}^{4}}{\mathrm{8EI}}\)

\(q\) : la force répartie en \(N/m\) .

\(L\) : la longueur de la poutre en \(m\) .

\(E\) : le module de Young de la plaque, donc du béton en \(\mathit{Pa}\) .

\(I=\frac{{t}^{3}l}{12}\) : le moment quadratique de la poutre par rapport à l’axe y en \({m}^{4}\) .

Pour la force de pression:

Grâce à son excentrement, le câble participe à la rigidité du modèle:

\({(\mathit{EI})}_{\mathit{eq}}={E}_{b}\frac{{t}^{3}l}{12}+{E}_{a}{a}_{x}l\times {e}_{z}^{2}\)

\({a}_{x}=\frac{A}{\mathit{dx}}\) : est le taux de ferraillage.

\({(\mathit{EI})}_{\mathit{eq}}=13.50{\mathit{MN.m}}^{2}\)

La flèche sous le chargement de pression se calcule ainsi:

\({f}_{p}=\frac{-{P}_{0}l\times {L}^{4}}{8{(\mathit{EI})}_{\mathit{eq}}}\)

Alors:

\({f}_{p}=-\mathrm{0.118552m}\)

Pour la mise en tension du câble de précontrainte:

Le câble mis en tension applique alors un effort de compression \(-{F}_{0}\) et un moment fléchissant \(-{e}_{z}{F}_{0}\) sur l’extrémité libre de la plaque.

Avec le principe de superposition, l’expression de la contrainte normale est:

\({\sigma}_{x}=\frac{-{F}_{0}}{\mathit{tl}}(1+\frac{12{e}_{z}z}{{t}^{2}})\)

Si on néglige les effets du coefficient de Poisson le champ de déplacement est donné par:

\(\lbrace \begin{array}{c}u(x,y,z)=\frac{-{F}_{0}}{{E}_{b}\mathit{tl}}(1+\frac{12{e}_{z}z}{{t}^{2}})x\\ v(x,y,z)=0\\ w(x,y,z)=\frac{{F}_{0}}{{E}_{b}\mathit{tl}}(\frac{6{e}_{z}}{{t}^{2}}{x}^{2})\end{array}\)

Les déplacements sont donnés à l’extrémité libre de la poutre au nœud \(D\) , soit en \((4,0.5,0)\) :

\(\lbrace \begin{array}{c}u(x,y,z)=-\mathrm{0.375mm}\\ v(x,y,z)=0\\ w(x,y,z)=\mathrm{16.875mm}\end{array}\)

Par superposition, le déplacement maximal théorique de la plaque précontrainte sous la force de pression est de:

\({f}_{\mathit{tot}}={f}_{p}+w\)

\({f}_{\mathit{tot}}=-\mathrm{0.101677m}\)

2.2. Incertitude sur la solution

Solution analytique.