Solution de référence
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Pour chaque modélisation, l’objectif est de retrouver la bonne tension initiale de précontrainte du câble après l'application de CALC_PRECONT mais aussi de déterminer le déplacement maximal de la plaque au nœud :math:`D` suivant l’axe :math:`z` après application de la pression.


Résultats de référence
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Pour déterminer le déplacement maximal, on utilise la théorie des poutres travaillant en flexion. Pour une poutre encastrée à une extrémité et libre de l’autre sous chargement réparti, le déplacement maximal à l’extrémité libre appelé flèche, est donné par:

:math:`f=-\frac{{\mathit{qL}}^{4}}{\mathrm{8EI}}`

:math:`q` : la force répartie en :math:`N/m` .

:math:`L` : la longueur de la poutre en :math:`m` .

:math:`E` : le module de Young de la plaque, donc du béton en :math:`\mathit{Pa}` .

:math:`I=\frac{{t}^{3}l}{12}` : le moment quadratique de la poutre par rapport à l’axe y en :math:`{m}^{4}` .

*Pour la force de pression:*

Grâce à son excentrement, le câble participe à la rigidité du modèle:

:math:`{(\mathit{EI})}_{\mathit{eq}}={E}_{b}\frac{{t}^{3}l}{12}+{E}_{a}{a}_{x}l\times {e}_{z}^{2}`

:math:`{a}_{x}=\frac{A}{\mathit{dx}}` : est le taux de ferraillage.

:math:`{(\mathit{EI})}_{\mathit{eq}}=13.50{\mathit{MN.m}}^{2}`

La flèche sous le chargement de pression se calcule ainsi:

:math:`{f}_{p}=\frac{-{P}_{0}l\times {L}^{4}}{8{(\mathit{EI})}_{\mathit{eq}}}`

Alors:

:math:`{f}_{p}=-\mathrm{0.118552m}`

*Pour la mise en tension du câble de précontrainte:*

Le câble mis en tension applique alors un effort de compression :math:`-{F}_{0}` et un moment fléchissant :math:`-{e}_{z}{F}_{0}` sur l’extrémité libre de la plaque.

Avec le principe de superposition, l’expression de la contrainte normale est:

:math:`{\sigma}_{x}=\frac{-{F}_{0}}{\mathit{tl}}(1+\frac{12{e}_{z}z}{{t}^{2}})`

Si on néglige les effets du coefficient de Poisson le champ de déplacement est donné par:

:math:`\lbrace \begin{array}{c}u(x,y,z)=\frac{-{F}_{0}}{{E}_{b}\mathit{tl}}(1+\frac{12{e}_{z}z}{{t}^{2}})x\\ v(x,y,z)=0\\ w(x,y,z)=\frac{{F}_{0}}{{E}_{b}\mathit{tl}}(\frac{6{e}_{z}}{{t}^{2}}{x}^{2})\end{array}`

Les déplacements sont donnés à l’extrémité libre de la poutre au nœud :math:`D` , soit en :math:`(4,0.5,0)` :

:math:`\lbrace \begin{array}{c}u(x,y,z)=-\mathrm{0.375mm}\\ v(x,y,z)=0\\ w(x,y,z)=\mathrm{16.875mm}\end{array}`

Par superposition, le déplacement maximal théorique de la plaque précontrainte sous la force de pression est de:

:math:`{f}_{\mathit{tot}}={f}_{p}+w`

:math:`{f}_{\mathit{tot}}=-\mathrm{0.101677m}`


Incertitude sur la solution
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Solution analytique.