2. Solution de référence#
2.1. Plaque en flexion#
On cherche à calculer la résultante \({F}_{Z}\) des efforts s’appliquant sur une plaque en béton armé (2 nappes d’armature) de dimension \({L}_{1}\times {L}_{2}\times e\) (\({L}_{1}\) est la dimension suivant la direction principale des armatures), encastrée sur un bord et que l’on soumet à un déplacement de flexion sur le bord opposé (\({U}_{z}\) ).
La force s’écrit:
avec \({K}_{z}\) la rigidité selon \(z\) donnée par:
avec \({(\mathrm{EI})}_{\mathrm{tot}}\) égal à
où
avec \({E}_{\mathrm{armat}}\) le module de Young de l’acier, \(s\) la section des armatures par mètre linéaire et \({e}_{\mathrm{exc}}\) l’excentrement des nappes d’armatures par rapport au feuillet moyen
où \({E}_{\mathrm{béton}}\) est le module de Young du béton.
Connaissant le déplacement vertical imposé et en utilisant les formules précédentes, il est possible de remonter à la valeur analytique de la force.
2.2. Effet de la gravité#
On s’intéresse à présent à une plaque en béton armé encastrée à ses deux extrémités et soumise à l’effet de la gravité.
On cherche à calculer la résultante des efforts verticaux associée \({F}_{z}\)
où \({F}_{z,\mathrm{beton}}\) et \({F}_{z,\mathrm{armat}}\) sont respectivement les effets de gravité liés au béton et aux armatures.
avec \(g\) l’accélération de la pesanteur
avec \({\rho}_{\mathrm{armat}}\) la masse volumique des armatures en acier, et \(s\) la section par mètre linéaire.
En combinant les équations précédentes, il devient possible de déterminer la valeur de la force verticale liée à la gravité et d’en déduire la résultante verticale des réactions d’appui.
2.3. Pré-Déformations#
On cherche à calculer le déplacement moyen suivant \(\mathrm{Ux}\) du bord libre d’une plaque en béton armé encastrée à l’autre bord. On applique aux armatures une pré-déformation \({\varepsilon}_{xx}\) .
En considérant la déformation homogène et égale sur les nappes d’armatures et dans le béton, on écrit simplement:
avec \({L}_{x}\) la dimension de la plaque dans la direction \(x\) (égale à \({L}_{1}\) dans ce cas)
On peut ainsi déterminer la valeur de déplacement cherchée.