Solution de référence
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Plaque en flexion
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On cherche à calculer la résultante :math:`{F}_{Z}` des efforts s’appliquant sur une plaque en béton armé (2 nappes d’armature) de dimension :math:`{L}_{1}\times {L}_{2}\times e` (:math:`{L}_{1}`  est la dimension suivant la direction principale des armatures), encastrée sur un bord et que l’on soumet à un déplacement de flexion sur le bord opposé (:math:`{U}_{z}` ).

La force s’écrit:


.. image:: images/Object_1.svg
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.. _RefImage_Object_1.svg:

avec :math:`{K}_{z}` la rigidité selon :math:`z` donnée par:


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.. _RefImage_Object_2.svg:

avec :math:`{(\mathrm{EI})}_{\mathrm{tot}}` égal à


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.. _RefImage_Object_3.svg:

où


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.. _RefImage_Object_4.svg:

avec :math:`{E}_{\mathrm{armat}}` le module de Young de l’acier, :math:`s` la section des armatures par mètre linéaire et :math:`{e}_{\mathrm{exc}}` l’excentrement des nappes d’armatures par rapport au feuillet moyen


.. image:: images/Object_5.svg
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.. _RefImage_Object_5.svg:

où :math:`{E}_{\mathrm{béton}}` est le module de Young du béton.

Connaissant le déplacement vertical imposé et en utilisant les formules précédentes, il est possible de remonter à la valeur analytique de la force.


Effet de la gravité
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On s’intéresse à présent à une plaque en béton armé encastrée à ses deux extrémités et soumise à l’effet de la gravité.

On cherche à calculer la résultante des efforts verticaux associée :math:`{F}_{z}`


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.. _RefImage_Object_6.svg:

où :math:`{F}_{z,\mathrm{beton}}` et :math:`{F}_{z,\mathrm{armat}}` sont respectivement les effets de gravité liés au béton et aux armatures.


.. image:: images/Object_7.svg
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.. _RefImage_Object_7.svg:

avec :math:`g` l’accélération de la pesanteur


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.. _RefImage_Object_8.svg:

avec :math:`{\rho}_{\mathrm{armat}}` la masse volumique des armatures en acier, et :math:`s` la section par mètre linéaire.

En combinant les équations précédentes, il devient possible de déterminer la valeur de la force verticale liée à la gravité et d’en déduire la résultante verticale des réactions d’appui.


Pré-Déformations
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On cherche à calculer le déplacement moyen suivant :math:`\mathrm{Ux}` du bord libre d’une plaque en béton armé encastrée à l’autre bord. On applique aux armatures une pré-déformation :math:`{\varepsilon}_{xx}` .

En considérant la déformation homogène et égale sur les nappes d’armatures et dans le béton, on écrit simplement:


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.. _RefImage_Object_9.svg:

avec :math:`{L}_{x}` la dimension de la plaque dans la direction :math:`x` (égale à :math:`{L}_{1}` dans ce cas)

On peut ainsi déterminer la valeur de déplacement cherchée.