1. Problème de référence#

1.1. Géométrie#

On considère un carré de côté \(1m\) traversé par une fissure horizontale:

_images/1000000000000208000001B68A88A403A1F8B567.png

La fissure est définie par les «level set» normale \({l}_{n}(Y)=Y-0.5\) et tangente \({l}_{t}(X)=-X+0.5\) .

1.2. Propriétés du matériau#

Le matériau est élastique isotrope dont les propriétés sont:

  • \(E=100000\mathrm{MPa}\)

  • \(\nu =0.0\)

1.3. Conditions aux limites et chargements#

1.3.1. Conditions aux limites de Dirichlet#

Pour la modélisation A , on impose des conditions aux limites de Dirichlet sur tout le contour du carré correspondant au mode d’ouverture asymptotique en mode I [1] . On a alors:

\({u}_{X}=\frac{1}{2\mu }\sqrt{\frac{r}{2\pi }}{K}_{I}\cos\frac{\theta}{2}(\kappa -\cos\theta )\) et \({u}_{Y}=\frac{1}{2\mu }\sqrt{\frac{r}{2\pi }}{K}_{I}\sin\frac{\theta}{2}(\kappa -\cos\theta )\) ,

avec:

\(\mu =\frac{E}{2(1+\nu )}\) et \(\kappa =3-4\nu\) en contraintes planes,

\(r\) et \(\theta\) sont les coordonnées polaires comme définies sur la figure suivante:

_images/10000000000001B90000019B565D5099C07B41FD.png

Avec \(\nu =0.0\) et \({K}_{I}=1\) , on impose finalement:

\({u}_{X}=\frac{1}{E}\sqrt{\frac{r}{2\pi }}\cos\frac{\theta}{2}(3-\cos\theta )\) et \({u}_{Y}=\frac{1}{E}\sqrt{\frac{r}{2\pi }}{K}_{I}\sin\frac{\theta}{2}(3-\cos\theta )\) .

1.3.2. Conditions aux limites de Neumann#

Pour la modélisation B , on impose des conditions aux limites de Neumann. Une compression uniforme \(P=-20\mathit{MPa}\) est imposée sur le bord droit tandis que le bord gauche est encastré.

_images/10000000000001F0000001AC6D1621B47E7B64E9.png