2. Solutions de référence#
2.1. Méthode de calcul utilisée pour les solutions de référence#
En repère local, \(x\) suivant l’axe \(\mathit{OA}\) de la poutre, le moment fléchissant, à l’abscisse \(x\) , a pour expression :
\({M}_{{F}_{y}}(x)=p{\int}_{x}^{L}\left[v(\xi )-v(x)\right]d\xi\) .
La flèche \(v(x)\) satisfait donc l’équation :
\(E{I}_{z}=\frac{{d}^{2}v}{{\mathrm{dx}}^{2}}=p{\int}_{x}^{L}\left[v(\xi )-v(x)\right]d\xi =-p\left[{\int}_{x}^{L}v(\xi )d\xi +(L-x)v(x)\right]\)
En dérivant les deux membres, on obtient l’équation différentielle :
\(\frac{{d}^{3}v}{{\mathrm{dx}}^{3}}+\frac{p}{E{I}_{z}}(L-x)\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dx}}=0\)
La fonction \(v'(x)=\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dx}}\) satisfait l’équation différentielle linéaire et homogène du second ordre:
\(\frac{{d}^{\mathrm{2v}}'}{{\mathrm{dx}}^{2}}+\frac{p}{E{I}_{z}}(L-x)v'=0\) ,
qui peut être résolue à l’aide des fonctions de Bessel. On trouve alors la valeur du poids linéique critique égale à :
\({p}_{c}=7,837\frac{E{I}_{z}}{{L}^{3}}\) .
La solution analytique donne numériquement :
\({p}_{c}=7,8372{10}^{11}\cdot \frac{{10}^{-8}}{12}=1,3061667{10}^{3}\) .
2.2. Résultats de référence#
La valeur critique du multiplicateur \(\lambda\) : \({\lambda}_{c}=\frac{{P}_{c}}{\rho Sg}\)
2.3. Incertitude sur la solution#
Solution analytique.
2.4. Références bibliographiques#
[1] Rapport n° 2314/A de l’Institut Aérotechnique «Proposition et réalisation de nouveaux cas tests manquant à la validation des poutres Aster »