Solutions de référence
======================

Méthode de calcul utilisée pour les solutions de référence
----------------------------------------------------------

En repère local, :math:`x` suivant l’axe :math:`\mathit{OA}` de la poutre, le moment fléchissant, à l'abscisse :math:`x` , a pour expression :

:math:`{M}_{{F}_{y}}(x)=p{\int}_{x}^{L}\left[v(\xi )-v(x)\right]d\xi` .

La flèche :math:`v(x)` satisfait donc l'équation :

:math:`E{I}_{z}=\frac{{d}^{2}v}{{\mathrm{dx}}^{2}}=p{\int}_{x}^{L}\left[v(\xi )-v(x)\right]d\xi =-p\left[{\int}_{x}^{L}v(\xi )d\xi +(L-x)v(x)\right]`

En dérivant les deux membres, on obtient l'équation différentielle :

:math:`\frac{{d}^{3}v}{{\mathrm{dx}}^{3}}+\frac{p}{E{I}_{z}}(L-x)\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dx}}=0`

La fonction :math:`v'(x)=\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dx}}` satisfait l'équation différentielle linéaire et homogène du second ordre:

:math:`\frac{{d}^{\mathrm{2v}}'}{{\mathrm{dx}}^{2}}+\frac{p}{E{I}_{z}}(L-x)v'=0` ,

qui peut être résolue à l'aide des fonctions de Bessel. On trouve alors la valeur du poids linéique critique égale à :

:math:`{p}_{c}=7,837\frac{E{I}_{z}}{{L}^{3}}` .

La solution analytique donne numériquement :

:math:`{p}_{c}=7,8372{10}^{11}\cdot \frac{{10}^{-8}}{12}=1,3061667{10}^{3}` .


Résultats de référence
----------------------

La valeur critique du multiplicateur :math:`\lambda` : :math:`{\lambda}_{c}=\frac{{P}_{c}}{\rho Sg}`


Incertitude sur la solution
---------------------------

Solution analytique.


Références bibliographiques
---------------------------

[:ref:`1 <1>`]    Rapport n° 2314/A de l’Institut Aérotechnique «Proposition et réalisation de nouveaux cas tests manquant à la validation des poutres *Aster* »