2. Solutions de référence#
2.1. Méthode de calcul utilisée pour les solutions de référence#
2.1.1. Section circulaire#
2.1.1.1. Poutre soumise à un effort de traction ponctuel \(\mathit{Fx}\)#
L’’équation d’équilibre est :
\(\frac{\partial}{\partial x}(\mathrm{EA}(x)\frac{\partial u}{\mathrm{dx}})=0\) avec \(A(x)={A}_{1}(1+c\frac{x}{L})\) et \(c=\sqrt{\frac{{A}_{2}}{{A}_{1}}}-1\) , \(N(L)={F}_{x}\)
En intégrant deux fois [R3.08.01], nous obtenons les déplacements en fonction de la force appliquée, soit :
\(u(x)=\frac{{\mathrm{LF}}_{x}}{{\mathrm{EA}}_{1}}(\frac{x}{L+\mathrm{cx}})\)
et donc à l’extrémité L de la poutre :
\(u(L)=\frac{L}{E\sqrt{{A}_{1}{A}_{2}}}{F}_{x}\)
Les efforts internes sont donnés par :
\(N(x)=\mathrm{EA}(x)\frac{\partial u}{\partial x}(x)={F}_{x}\)
et les contraintes par :
\({\sigma}_{xx}=\frac{N(x)}{A(x)}\)
2.1.1.2. Poutre soumise à un effort de flexion ponctuel \(\mathit{Fy}\)#
L’’équation d’équilibre, sous l’hypothèse d’Euler, est donnée par l’équation :
\(\frac{{\partial}^{2}}{\partial {x}^{2}}\left[{\mathrm{EI}}_{z}(x)\frac{{\partial}^{2}v}{\partial {x}^{2}}\right]=0\) avec \({I}_{z}(x)={I}_{{z}_{1}}{(1+c\frac{x}{L})}^{4}\) et \(c={(\frac{{I}_{{z}_{2}}}{{I}_{{z}_{1}}})}^{\frac{1}{4}}-1\) , \({V}_{y}(L)={F}_{y}\)
Nous résolvons l’équation par intégration en tenant compte de la loi de comportement modifiée \({\mathrm{MF}}_{z}={\mathrm{EI}}_{z}\frac{{\partial}^{2}v}{\partial {x}^{2}}\) et l’équation d’équilibre \(\frac{\partial {\mathrm{MF}}_{z}}{\partial x}+{V}_{y}=0\)
Les quatre intégrations successives, en tenant compte pour le calcul des constantes d’intégration que :
\(\begin{array}{}\frac{\partial}{\partial x}\left[{\mathrm{EI}}_{z}(x)\frac{{\partial}^{2}v}{\partial {x}^{2}}\right](L)=-{V}_{y}(L)=-{F}_{y}\\ ({\mathrm{EI}}_{z}(L)\frac{{\partial}^{2}v}{\partial {x}^{2}})(L)=0\\ \frac{\partial v}{\partial x}(0)=0\\ v(0)=0\end{array}\)
mènent à l’expression de :
\(v(x)=+\frac{{F}_{y}{L}^{2}}{6E{I}_{{z}_{1}}}\frac{{x}^{2}(3L-x+2\mathrm{cx})}{{(L+\mathrm{cx})}^{2}}\)
et à l’expression de \({\theta}_{z}(x)\)
\({\theta}_{z}(x)=+\frac{{F}_{y}\mathrm{L²}}{6E{I}_{{z}_{1}}}\frac{x(6\mathrm{L²}-3\mathrm{Lx}+6L\mathrm{cx}-\mathrm{cx²}+2\mathrm{c²}\mathrm{x²})}{{(L+\mathrm{cx})}^{3}}\)
Les efforts internes sont donnés par :
\(\begin{array}{}{V}_{y}(x)={F}_{y}\\ {\mathrm{MF}}_{z}(x)={F}_{y}(L-x)\end{array}\)
et les contraintes par :
\({\sigma}_{xx}(x)=∣{\mathrm{MF}}_{z}(x)∣\frac{R(x)}{{I}_{z}(x)}\)
\({\sigma}_{xy}=\frac{{V}_{y}(x)}{A(x)}\) pas de coefficient de correction du cisaillement en hypothèse d’Euler.
2.1.1.3. Poutre soumise à un moment de torsion ponctuel \(\mathrm{Mx}\)#
Le mouvement est donné par l’équation :
\(\frac{\partial}{\partial x}\left[G{I}_{p}(x)\frac{\partial {\theta}_{x}}{\partial x}\right]=0\) avec \({I}_{p}(x)={I}_{{p}_{1}}{(1+c\frac{x}{L})}^{4}\) et \(c={(\frac{{I}_{{p}_{2}}}{{I}_{{p}_{1}}})}^{\frac{1}{4}}-1\) , \({M}_{x}(L)={M}_{x}\)
Après intégration, et en tenant compte du fait que :
\(G{I}_{p}(L)=\frac{\partial {\theta}_{x}}{\partial x}(L)={M}_{x}\) , et \({\theta}_{x}(0)=0\)
nous obtenons l’expression de \({\theta}_{x}(x)\) :
\({\theta}_{x}(x)=\frac{L{M}_{x}}{3G{I}_{{p}_{1}}}\frac{x(3{L}^{2}+3L\mathrm{cx}+\mathrm{c²}\mathrm{x²})}{{(L+\mathrm{cx})}^{3}}\)
Nous devons également avoir pour les efforts internes et les contraintes:
\(\begin{array}{}{M}_{x}(x)={M}_{x}\\ {\sigma}_{xy}(x)=\frac{{M}_{x}(x)}{{I}_{p}(x)}{R}_{T}(x)\\ {\sigma}_{xz}(x)=\frac{{M}_{x}(x)}{{I}_{p}(x)}{R}_{T}(x)\end{array}\)
2.1.1.4. Poutre soumise à un moment de flexion ponctuel \(\mathit{My}\)#
Le raisonnement pour trouver la solution analytique est le même que précédemment. Nous utilisons la loi de comportement \({M}_{y}(x)=-{\mathrm{EI}}_{y}(x)\frac{{\partial}^{2}w}{\partial {x}^{2}}\) et l’équation d’équilibre \(\frac{\partial {\mathrm{MF}}_{y}}{\partial x}-{V}_{z}=0\) Le calcul des constantes d’intégration diffère : on a \({V}_{z}(L)=0\) et \({M}_{{F}_{y}}(L)={M}_{y}\) .
On obtient l’expression de \(w(x)\) :
\(w(x)=\frac{L{M}_{y}}{6E{I}_{{y}_{1}}}\frac{\mathrm{x²}(3L+2\mathrm{cx})}{{(L+\mathrm{cx})}^{2}}\) ,
et l’expression de \({\theta}_{y}(x)\) :
\({\sigma}_{y}(x)=\frac{L{M}_{y}}{3E{I}_{\mathrm{y1}}}\frac{x(3{L}^{2}+3L\mathrm{cx}+{c}^{2}{x}^{2})}{{(L+\mathrm{cx})}^{3}}\)
On doit également avoir pour les efforts internes et les contraintes:
\(\begin{array}{}{V}_{z}(x)=0\\ {\mathrm{MF}}_{y}(x)=\mathrm{My}\\ {\sigma}_{xx}(x)=∣{\mathrm{MF}}_{y}(x)∣\frac{R(x)}{{I}_{y}(x)}\end{array}\)
2.1.1.5. Poutre soumise à un effort de traction réparti de façon constante \(\mathrm{fx}\)#
L’équilibre est décrit par l’équation
\(\frac{\partial}{\partial x}(\mathrm{EA}(x)\frac{\partial u}{\partial x})=-{f}_{x}\) avec \(A(x)={A}_{1}{(1+c\frac{x}{L})}^{2}\) et \(c={(\frac{{A}_{2}}{{A}_{1}})}^{\frac{1}{2}}-1\)
En intégrant une première fois cette équation, nous obtenons:
\(EA(x)\frac{\partial u}{\partial x}=-{f}_{x}x+{c}_{1}\)
La condition limite \(N(L)=0\) implique \({c}_{1}={f}_{x}L\) . Nous avons donc :
\(\frac{\partial u}{\partial x}=-{f}_{x}\frac{(L-x)}{EA(x)}\)
soit :
\(u(x)={f}_{x}\int\frac{(L-x)}{EA(x)}\mathrm{dx}+{c}_{2}\)
\({c}_{2}\) est déterminé pour que \(u(0)=0\)
Tout calcul fait, nous avons :
\(u(x)=\frac{{L}^{2}{f}_{x}}{E{A}_{1}{c}^{2}}\frac{cx+{c}^{2}x+(L+cx)\log\frac{L}{L+cx}}{L+cx}\) .
Les efforts internes sont déduits de la loi de comportement \(N(x)=EA(x)\frac{\partial u}{\partial x}\) :
\(N(x)={f}_{x}(L-x)\)
et les contraintes sont données par :
\({\sigma}_{xx}(x)=\frac{N(x)}{A(x)}=\frac{{f}_{x}(L-x)}{{\left[\sqrt{{A}_{1}}+(\sqrt{{A}_{2}-\sqrt{{A}_{1}}})\frac{x}{L}\right]}^{2}}\)
2.1.1.6. Poutre soumise à un effort de flexion réparti de façon constante \(\mathit{fy}\)#
Partant de l’équation d’équilibre:
\(\frac{{\partial}^{2}}{\partial {x}^{2}}\left[E{I}_{z}(x)\frac{{\partial}^{2}v}{\partial {x}^{2}}\right]=-{f}_{y}\) avec \({I}_{z}(x)={I}_{{z}_{1}}{(1+c\frac{x}{L})}^{4}\) et \(c={(\frac{{I}_{{z}_{2}}}{{I}_{{z}_{1}}})}^{\frac{1}{4}}-1\)
nous effectuons quatre intégrations successives. La détermination des constantes d’intégration est faite à partir des conditions limites suivantes :
\(\begin{array}{}{V}_{y}(L)=0\\ {M}_{z}(L)=0\\ \frac{\partial v}{\partial x}(0)=0\\ v(0)=0\end{array}\)
L’expression analytique pour \(v(x)\) et \(\theta (z)\) en présence d’un chargement réparti est, tout calcul fait:
\(\begin{array}{}v(x)=\frac{-{f}_{y}{L}^{3}}{12{\mathrm{EI}}_{{z}_{1}}{c}^{4}{(L+\mathrm{cx})}^{2}}\left[\begin{array}{c}-6{L}^{2}\mathrm{cx}+{x}^{2}(-9{\mathrm{Lc}}^{2}-3{\mathrm{Lc}}^{4})+{x}^{3}(-2{c}^{3}+2{c}^{4}-2{c}^{5})\\ +\log(1+c\frac{x}{L})(6{L}^{3}+12{L}^{2}\mathrm{cx}+6L{c}^{2}{x}^{2})\end{array}\right]\\ {\theta}_{z}(x)=\frac{+{L}^{3}{f}_{y}x}{6E{I}_{{z}_{1}}{(L+\mathrm{cx})}^{3}}\left[3{L}^{2}-3\mathrm{Lx}+3\mathrm{Lcx}+{x}^{2}(1-c+{c}^{2})\right]\end{array}\)
Les efforts internes sont donnés par :
\({V}_{y}(x)={f}_{y}(L-x)\) et \({\mathrm{Mf}}_{z}(x)=\frac{1}{2}{f}_{y}{(L-x)}^{2}\)
les contraintes par :
\(\begin{array}{}{\sigma}_{xy}(x)=\frac{{V}_{y}(x)}{A(x)}\\ {\sigma}_{xx}(x)=∣{\mathrm{Mf}}_{z}(x)∣\frac{R(x)}{{I}_{z}(x)}\end{array}\)
2.1.2. Section rectangulaire#
2.1.2.1. Poutre soumise à un effort de traction ponctuel \(\mathit{Fx}\)#
L’équation d’équilibre est :
\(\frac{\partial}{\partial x}(\mathrm{EA}(x)\frac{\partial u}{\partial x})=0\) avec \(A(x)={A}_{1}+({A}_{2}-{A}_{1})\frac{x}{L}\) , \(N(L)={F}_{x}\)
En intégrant deux fois, et en tenant compte du fait que :
\(EA(L)\frac{\partial u}{\partial x}(L)={F}_{x}\) , \(u(0)=0\)
pour la détermination des constantes d’intégration, nous obtenons l’expression analytique de \(u(x)\) , soit :
\(u(x)=\frac{{F}_{x}L}{{A}_{1}\mathrm{Ec}}\log(1+c\frac{x}{L})\)
Pour les efforts internes et contraintes, nous avons :
\(\begin{array}{}N(x)={F}_{x}\\ {\sigma}_{xx}=\frac{N(x)}{A(x)}\end{array}\)
2.1.2.2. Poutre soumise à un effort de flexion ponctuel \(\mathit{Fy}\)#
Le mouvement est donné par l’équation :
\(\frac{{\partial}^{2}}{\partial {x}^{2}}\left[E{I}_{z}(x)\frac{{\partial}^{2}v}{\partial {x}^{2}}\right]=0\) avec \({I}_{z}(x)={I}_{{z}_{1}}{(1+c\frac{x}{L})}^{3}\) et \(c={(\frac{{I}_{{z}_{2}}}{{I}_{{z}_{1}}})}^{\frac{1}{3}}-1\) , \({V}_{y}(L)={F}_{y}\)
Le même raisonnement que pour la section circulaire mène au résultat suivant :
\(v(x)=-\frac{{F}_{y}{L}^{2}}{2E{I}_{{z}_{1}}{c}^{3}}\frac{\left[2\mathrm{Lcx}+{c}^{2}{x}^{2}-{c}^{3}{x}^{2}+2L(L+\mathrm{cx})\log(\frac{L}{L+\mathrm{cx}})\right]}{(L+\mathrm{cx})}\)
\({\theta}_{z}(x)=\frac{{F}_{y}{L}^{2}}{2{\mathrm{EI}}_{{z}_{1}}}\frac{x(2L-x+\mathrm{cx})}{{(L+\mathrm{cx})}^{2}}\)
Nous devons avoir pour les efforts internes et les contraintes :
\(\begin{array}{}{V}_{y}(x)={F}_{y}\\ \\ {M}_{{F}_{z}}(x)={F}_{y}(L-x)\\ \\ {\sigma}_{xx}(x)=\frac{{H}_{y}(x){M}_{{F}_{x}}(x)}{{\mathrm{2I}}_{z}(x)}\\ \\ {\sigma}_{xy}(x)=\frac{{V}_{y}(x)}{A(x)}\end{array}\)
2.1.2.3. Poutre soumise à un moment de torsion ponctuel \(\mathit{Mx}\)#
Le mouvement est donné par l’équation :
\(\frac{\partial}{\partial x}\left[G{I}_{p}(x)\frac{\partial {\theta}_{x}}{\partial x}\right]=0\) avec \({I}_{p}(x)={I}_{{p}_{1}}{(1+c\frac{x}{L})}^{3}\) et \(c={(\frac{{I}_{{p}_{2}}}{{I}_{{p}_{1}}})}^{\frac{1}{3}}-1\) , \({M}_{x}(L)={M}_{x}\)
Par le même raisonnement que la poutre à section circulaire, nous obtenons l’expression analytique de \({\theta}_{x}(x)\) :
\({\theta}_{x}(x)=\frac{L{M}_{x}x(2L+\mathrm{cx})}{2{I}_{{p}_{1}}G{(L+\mathrm{cx})}^{2}}\)
\({I}_{{p}_{1}}\) et \({I}_{{p}_{2}}\) sont calculés selon les formules données dans la documentation de référence [R3.08.01].
Les efforts internes et les contraintes sont donnés par :
\(\begin{array}{}{M}_{x}(x)={M}_{x}\\ {\sigma}_{xy}(x)=\frac{{M}_{x}(x)}{{I}_{p}(x)}{R}_{T}(x)={\sigma}_{xz}\end{array}\)
2.1.2.4. Poutre soumise à un moment de flexion ponctuel \(\mathit{My}\)#
On reprend le même raisonnement que précédemment, on obtient les expressions analytiques suivantes pour \(w(x)\) et \({\theta}_{y}(x)\) :
\(\begin{array}{}w(x)=-\frac{L{M}_{y}{x}^{2}}{2{\mathrm{EI}}_{{y}_{1}}(L+\mathrm{cx})}\\ \\ {\theta}_{y}(x)=\frac{L{M}_{y}x(2L+\mathrm{cx})}{2E{I}_{{y}_{1}}{(L+\mathrm{cx})}^{2}}\end{array}\)
pour les efforts :
\(\begin{array}{}{V}_{z}(x)=0\\ {\mathrm{MF}}_{y}(x)={M}_{y}\end{array}\)
et pour les contraintes :
\({\sigma}_{xx}(x)=\frac{{H}_{z}(x){\mathrm{MF}}_{y}(x)}{2{I}_{y}(x)}\)
2.1.2.5. Poutre soumise à un effort de traction réparti de façon constante \(\mathrm{Fx}\)#
L’équation d’équilibre est :
\(\frac{\partial}{\partial x}\left[\mathrm{EA}(x)\frac{\partial u}{\partial x}\right]=-{f}_{x}\) avec \(A(x)={A}_{1}(1+c\frac{x}{L})\) et \(c=(\frac{{A}_{2}}{{A}_{1}})-1\) .
Après deux intégrations et en tenant compte du fait que \(N(L)=0\) pour déterminer la première constante d’intégration, et \(u(0)=0\) pour déterminer la deuxième, nous obtenons l’expression analytique de \(u(x)\) :
\(u(x)=\frac{-L{f}_{x}}{E{A}_{1}{c}^{2}}\left[cx+(L+{L}_{c})\log(\frac{L}{L+cx})\right]\)
Les efforts internes sont connus par l’expression suivante :
\(N(x)={f}_{x}(L-x)\)
et les contraintes par :
\({\sigma}_{xx}(x)=\frac{{f}_{x}(L-x)}{A(x)}\)
2.1.2.6. Poutre soumise à un effort de flexion réparti de façon constante \(\mathrm{Fy}\)#
L’équation d’équilibre est:
\(\frac{{\partial}^{2}}{\partial {x}^{2}}\left[{\mathrm{EI}}_{z}(x)\frac{{\partial}^{2}v}{\partial {x}^{2}}\right]=-{f}_{y}\) avec \({I}_{z}(x)={I}_{{z}_{1}}{(1+c\frac{x}{L})}^{3}\) et \(c={(\frac{{I}_{{z}_{2}}}{{I}_{{z}_{1}}})}^{\frac{1}{3}}-1\)
Nous intégrons successivement quatre fois cette équation. Les constantes d’intégration sont calculées en tenant compte du fait que :
\(\begin{array}{}{V}_{y}(L)=0\\ {\mathrm{MF}}_{z}(L)=0\\ \frac{\partial v}{\partial x}(0)=0\\ v(0)=0\end{array}\)
Le résultat analytique pour la flèche et la rotation en \(L\) est le suivant :
\(\begin{array}{}v(x)=\frac{{L}^{3}{f}_{y}}{4E{I}_{{z}_{1}}{c}^{4}(L+cx)}\left[x(6\mathrm{Lc}+4{\mathrm{Lc}}^{2})+{x}^{2}({\mathrm{5c}}^{2}+{\mathrm{2c}}^{3}-{c}^{4})\right]\\ +({\mathrm{6L}}^{2}+{\mathrm{4L}}^{2}c+\mathrm{8Lcx}+4{\mathrm{Lc}}^{2}x+{\mathrm{2c}}^{2}{x}^{2})\log(\frac{L}{L+\mathrm{cx}})\end{array}\)
\(\begin{array}{}{\theta}_{z}(x)=\frac{{L}^{3}{f}_{y}}{4{\mathrm{EI}}_{{z}_{1}}{c}^{3}{(L+\mathrm{cx})}^{2}}\left[x(2\mathrm{Lc}+2{\mathrm{Lc}}^{3})+{x}^{2}(3{c}^{2}+2{c}^{3}-{c}^{4})\right]\\ +(2{L}^{2}+\mathrm{Lcx}+2{c}^{2}{x}^{2})\log(\frac{L}{L+\mathrm{cx}})\end{array}\)
Les efforts internes sont donnés par les expressions suivantes :
\({V}_{y}(x)={f}_{y}(L-x)\) , \({\mathrm{Mf}}_{z}(x)=\frac{1}{2}{f}_{y}{(L-x)}^{2}\)
les contraintes par :
\(\begin{array}{}{\sigma}_{xy}(x)=\frac{{V}_{y}(x)}{A(x)}\\ {\sigma}_{xx}(x)=∣\frac{{\mathrm{Mf}}_{z}(x){h}_{y}}{{I}_{z}(x)2}∣\end{array}\)
2.1.3. Section générale#
2.1.3.1. Poutre soumise aux forces de pesanteur#
Les efforts de pesanteur sont appliqués suivant l’axe \(z\) . Le mouvement de la poutre induit par ces efforts est donc un mouvement de flexion dans le plan \((xoz)\) .
L’équation d’équilibre est donnée par l’expression :
\(\frac{{\partial}^{2}}{\partial {x}^{2}}(E{I}_{y}(x)\frac{{\partial}^{2}w}{\partial {x}^{2}})=\underset{\mathrm{poids}\mathrm{linéique}}{\rho A(x)g}\)
avec \(A(x)={A}_{1}{(1+c\frac{x}{L})}^{2}\) , \(c={(\frac{{A}_{2}}{{A}_{1}})}^{\frac{1}{2}}-1\) et \({I}_{y}(x)={I}_{\mathrm{y1}}{(1+d\frac{x}{L})}^{4}\) \(d={(\frac{{I}_{\mathrm{y2}}}{{I}_{\mathrm{y1}}})}^{\frac{1}{4}}-1\)
En intégrant une première fois, nous obtenons l’effort tranchant interne :
\({V}_{z}(x)=-\int\rho A(x)g\mathrm{dx}+{C}_{1}\)
\({C}_{1}\) est déterminé de façon à ce que \({V}_{z}(L)=0\) .
Nous obtenons :
\({V}_{z}(x)=\frac{L{A}_{1}\rho g}{3c}\left[-{(1+c\frac{x}{L})}^{3}+{(1+c)}^{3}\right]\) .
En intégrant une deuxième fois, nous obtenons le moment de flexion interne:
\({M}_{y}(x)=\int{V}_{z}(x)\mathrm{dx}+{c}_{2}\)
\({C}_{2}\) est calculé afin que \({M}_{y}(L)=0\)
Nous obtenons :
\({M}_{y}(x)=\frac{{A}_{1}\rho g}{12{L}^{2}}{(L-x)}^{2}(6{L}^{2}+8{L}^{2}c+3{L}^{2}{c}^{2}+4\mathrm{Lcx}+2\mathrm{Lcx}+\frac{2{\mathrm{Lc}}^{2}x}{+{c}^{2}{x}^{2}})\)
Nous calculons ensuite la rotation à partir de la loi de comportement \({M}_{y}(x)=E{I}_{y}(x)\frac{\partial {\theta}_{y}}{\partial x}\)
Nous avons donc \({\theta}_{y}(x)=\int\frac{{M}_{y}(x)}{E{I}_{y}(x)}\mathrm{dx}+{C}_{3}\) avec \({\theta}_{y}(0)=0\)
La flèche \(w(x)\) est déterminée à partir de la relation d’Euler : \({\theta}_{y}=-\frac{\partial w}{\partial x}\)
Nous calculons \(w(x)\) par intégration de \({\theta}_{y}(x)\) : \(w(x)=-\int{\theta}_{y}(x)+{C}_{4}\)
avec \({C}_{4}\) telle que \(w(0)=0\) .
Les expressions analytiques de \({\theta}_{y}(x)\) et \(w(x)\) ne sont pas retranscrites ici car elles sont beaucoup trop lourdes. Elles ont été calculées, comme les précédentes, par le logiciel de calcul formel MATHEMATICA.
2.2. Résultats de référence#
Déplacements et rotations à l’extrémité libre
Efforts intérieurs aux deux extrémités
Contraintes aux deux extrémités
2.3. Incertitude sur la solution#
Solution analytique.
2.4. Références bibliographiques#
[1] Rapport n° 2314/A de l’Institut Aérotechnique «Proposition et réalisation de nouveaux cas tests manquant à la validation des poutres ASTER»