Solutions de référence ====================== Méthode de calcul utilisée pour les solutions de référence ---------------------------------------------------------- Section circulaire ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Poutre soumise à un effort de traction ponctuel :math:`\mathit{Fx}` ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ L’’équation d’équilibre est : :math:`\frac{\partial}{\partial x}(\mathrm{EA}(x)\frac{\partial u}{\mathrm{dx}})=0` avec :math:`A(x)={A}_{1}(1+c\frac{x}{L})` et :math:`c=\sqrt{\frac{{A}_{2}}{{A}_{1}}}-1` , :math:`N(L)={F}_{x}` En intégrant deux fois [:ref:`R3.08.01 `], nous obtenons les déplacements en fonction de la force appliquée, soit : :math:`u(x)=\frac{{\mathrm{LF}}_{x}}{{\mathrm{EA}}_{1}}(\frac{x}{L+\mathrm{cx}})` et donc à l’extrémité L de la poutre : :math:`u(L)=\frac{L}{E\sqrt{{A}_{1}{A}_{2}}}{F}_{x}` Les efforts internes sont donnés par : :math:`N(x)=\mathrm{EA}(x)\frac{\partial u}{\partial x}(x)={F}_{x}` et les contraintes par : :math:`{\sigma}_{xx}=\frac{N(x)}{A(x)}` Poutre soumise à un effort de flexion ponctuel :math:`\mathit{Fy}` ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ L’’équation d’équilibre, sous l’hypothèse d’Euler, est donnée par l’équation : :math:`\frac{{\partial}^{2}}{\partial {x}^{2}}\left[{\mathrm{EI}}_{z}(x)\frac{{\partial}^{2}v}{\partial {x}^{2}}\right]=0` avec :math:`{I}_{z}(x)={I}_{{z}_{1}}{(1+c\frac{x}{L})}^{4}` et :math:`c={(\frac{{I}_{{z}_{2}}}{{I}_{{z}_{1}}})}^{\frac{1}{4}}-1` , :math:`{V}_{y}(L)={F}_{y}` Nous résolvons l’équation par intégration en tenant compte de la loi de comportement modifiée :math:`{\mathrm{MF}}_{z}={\mathrm{EI}}_{z}\frac{{\partial}^{2}v}{\partial {x}^{2}}` et l’équation d’équilibre :math:`\frac{\partial {\mathrm{MF}}_{z}}{\partial x}+{V}_{y}=0` Les quatre intégrations successives, en tenant compte pour le calcul des constantes d’intégration que : :math:`\begin{array}{}\frac{\partial}{\partial x}\left[{\mathrm{EI}}_{z}(x)\frac{{\partial}^{2}v}{\partial {x}^{2}}\right](L)=-{V}_{y}(L)=-{F}_{y}\\ ({\mathrm{EI}}_{z}(L)\frac{{\partial}^{2}v}{\partial {x}^{2}})(L)=0\\ \frac{\partial v}{\partial x}(0)=0\\ v(0)=0\end{array}` mènent à l’expression de : :math:`v(x)=+\frac{{F}_{y}{L}^{2}}{6E{I}_{{z}_{1}}}\frac{{x}^{2}(3L-x+2\mathrm{cx})}{{(L+\mathrm{cx})}^{2}}` et à l’expression de :math:`{\theta}_{z}(x)` :math:`{\theta}_{z}(x)=+\frac{{F}_{y}\mathrm{L²}}{6E{I}_{{z}_{1}}}\frac{x(6\mathrm{L²}-3\mathrm{Lx}+6L\mathrm{cx}-\mathrm{cx²}+2\mathrm{c²}\mathrm{x²})}{{(L+\mathrm{cx})}^{3}}` Les efforts internes sont donnés par : :math:`\begin{array}{}{V}_{y}(x)={F}_{y}\\ {\mathrm{MF}}_{z}(x)={F}_{y}(L-x)\end{array}` et les contraintes par : :math:`{\sigma}_{xx}(x)=∣{\mathrm{MF}}_{z}(x)∣\frac{R(x)}{{I}_{z}(x)}` :math:`{\sigma}_{xy}=\frac{{V}_{y}(x)}{A(x)}` pas de coefficient de correction du cisaillement en hypothèse d’Euler. Poutre soumise à un moment de torsion ponctuel :math:`\mathrm{Mx}` ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ Le mouvement est donné par l’équation : :math:`\frac{\partial}{\partial x}\left[G{I}_{p}(x)\frac{\partial {\theta}_{x}}{\partial x}\right]=0` avec :math:`{I}_{p}(x)={I}_{{p}_{1}}{(1+c\frac{x}{L})}^{4}` et :math:`c={(\frac{{I}_{{p}_{2}}}{{I}_{{p}_{1}}})}^{\frac{1}{4}}-1` , :math:`{M}_{x}(L)={M}_{x}` Après intégration, et en tenant compte du fait que : :math:`G{I}_{p}(L)=\frac{\partial {\theta}_{x}}{\partial x}(L)={M}_{x}` , et :math:`{\theta}_{x}(0)=0` nous obtenons l’expression de :math:`{\theta}_{x}(x)` : :math:`{\theta}_{x}(x)=\frac{L{M}_{x}}{3G{I}_{{p}_{1}}}\frac{x(3{L}^{2}+3L\mathrm{cx}+\mathrm{c²}\mathrm{x²})}{{(L+\mathrm{cx})}^{3}}` Nous devons également avoir pour les efforts internes et les contraintes: :math:`\begin{array}{}{M}_{x}(x)={M}_{x}\\ {\sigma}_{xy}(x)=\frac{{M}_{x}(x)}{{I}_{p}(x)}{R}_{T}(x)\\ {\sigma}_{xz}(x)=\frac{{M}_{x}(x)}{{I}_{p}(x)}{R}_{T}(x)\end{array}` Poutre soumise à un moment de flexion ponctuel :math:`\mathit{My}` ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ Le raisonnement pour trouver la solution analytique est le même que précédemment. Nous utilisons la loi de comportement :math:`{M}_{y}(x)=-{\mathrm{EI}}_{y}(x)\frac{{\partial}^{2}w}{\partial {x}^{2}}` et l’équation d’équilibre :math:`\frac{\partial {\mathrm{MF}}_{y}}{\partial x}-{V}_{z}=0` Le calcul des constantes d’intégration diffère : on a :math:`{V}_{z}(L)=0` et :math:`{M}_{{F}_{y}}(L)={M}_{y}` . On obtient l’expression de :math:`w(x)` : :math:`w(x)=\frac{L{M}_{y}}{6E{I}_{{y}_{1}}}\frac{\mathrm{x²}(3L+2\mathrm{cx})}{{(L+\mathrm{cx})}^{2}}` , et l’expression de :math:`{\theta}_{y}(x)` : :math:`{\sigma}_{y}(x)=\frac{L{M}_{y}}{3E{I}_{\mathrm{y1}}}\frac{x(3{L}^{2}+3L\mathrm{cx}+{c}^{2}{x}^{2})}{{(L+\mathrm{cx})}^{3}}` On doit également avoir pour les efforts internes et les contraintes: :math:`\begin{array}{}{V}_{z}(x)=0\\ {\mathrm{MF}}_{y}(x)=\mathrm{My}\\ {\sigma}_{xx}(x)=∣{\mathrm{MF}}_{y}(x)∣\frac{R(x)}{{I}_{y}(x)}\end{array}` Poutre soumise à un effort de traction réparti de façon constante :math:`\mathrm{fx}` ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ L’équilibre est décrit par l’équation :math:`\frac{\partial}{\partial x}(\mathrm{EA}(x)\frac{\partial u}{\partial x})=-{f}_{x}` avec :math:`A(x)={A}_{1}{(1+c\frac{x}{L})}^{2}` et :math:`c={(\frac{{A}_{2}}{{A}_{1}})}^{\frac{1}{2}}-1` En intégrant une première fois cette équation, nous obtenons: :math:`EA(x)\frac{\partial u}{\partial x}=-{f}_{x}x+{c}_{1}` La condition limite :math:`N(L)=0` implique :math:`{c}_{1}={f}_{x}L` . Nous avons donc : :math:`\frac{\partial u}{\partial x}=-{f}_{x}\frac{(L-x)}{EA(x)}` soit : :math:`u(x)={f}_{x}\int\frac{(L-x)}{EA(x)}\mathrm{dx}+{c}_{2}` :math:`{c}_{2}` est déterminé pour que :math:`u(0)=0` Tout calcul fait, nous avons : :math:`u(x)=\frac{{L}^{2}{f}_{x}}{E{A}_{1}{c}^{2}}\frac{cx+{c}^{2}x+(L+cx)\log\frac{L}{L+cx}}{L+cx}` . Les efforts internes sont déduits de la loi de comportement :math:`N(x)=EA(x)\frac{\partial u}{\partial x}` : :math:`N(x)={f}_{x}(L-x)` et les contraintes sont données par : :math:`{\sigma}_{xx}(x)=\frac{N(x)}{A(x)}=\frac{{f}_{x}(L-x)}{{\left[\sqrt{{A}_{1}}+(\sqrt{{A}_{2}-\sqrt{{A}_{1}}})\frac{x}{L}\right]}^{2}}` Poutre soumise à un effort de flexion réparti de façon constante :math:`\mathit{fy}` ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ Partant de l’équation d’équilibre: :math:`\frac{{\partial}^{2}}{\partial {x}^{2}}\left[E{I}_{z}(x)\frac{{\partial}^{2}v}{\partial {x}^{2}}\right]=-{f}_{y}` avec :math:`{I}_{z}(x)={I}_{{z}_{1}}{(1+c\frac{x}{L})}^{4}` et :math:`c={(\frac{{I}_{{z}_{2}}}{{I}_{{z}_{1}}})}^{\frac{1}{4}}-1` nous effectuons quatre intégrations successives. La détermination des constantes d’intégration est faite à partir des conditions limites suivantes : :math:`\begin{array}{}{V}_{y}(L)=0\\ {M}_{z}(L)=0\\ \frac{\partial v}{\partial x}(0)=0\\ v(0)=0\end{array}` L’expression analytique pour :math:`v(x)` et :math:`\theta (z)` en présence d’un chargement réparti est, tout calcul fait: :math:`\begin{array}{}v(x)=\frac{-{f}_{y}{L}^{3}}{12{\mathrm{EI}}_{{z}_{1}}{c}^{4}{(L+\mathrm{cx})}^{2}}\left[\begin{array}{c}-6{L}^{2}\mathrm{cx}+{x}^{2}(-9{\mathrm{Lc}}^{2}-3{\mathrm{Lc}}^{4})+{x}^{3}(-2{c}^{3}+2{c}^{4}-2{c}^{5})\\ +\log(1+c\frac{x}{L})(6{L}^{3}+12{L}^{2}\mathrm{cx}+6L{c}^{2}{x}^{2})\end{array}\right]\\ {\theta}_{z}(x)=\frac{+{L}^{3}{f}_{y}x}{6E{I}_{{z}_{1}}{(L+\mathrm{cx})}^{3}}\left[3{L}^{2}-3\mathrm{Lx}+3\mathrm{Lcx}+{x}^{2}(1-c+{c}^{2})\right]\end{array}` Les efforts internes sont donnés par : :math:`{V}_{y}(x)={f}_{y}(L-x)` et :math:`{\mathrm{Mf}}_{z}(x)=\frac{1}{2}{f}_{y}{(L-x)}^{2}` les contraintes par : :math:`\begin{array}{}{\sigma}_{xy}(x)=\frac{{V}_{y}(x)}{A(x)}\\ {\sigma}_{xx}(x)=∣{\mathrm{Mf}}_{z}(x)∣\frac{R(x)}{{I}_{z}(x)}\end{array}` Section rectangulaire ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Poutre soumise à un effort de traction ponctuel :math:`\mathit{Fx}` ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ L’équation d’équilibre est : :math:`\frac{\partial}{\partial x}(\mathrm{EA}(x)\frac{\partial u}{\partial x})=0` avec :math:`A(x)={A}_{1}+({A}_{2}-{A}_{1})\frac{x}{L}` , :math:`N(L)={F}_{x}` En intégrant deux fois, et en tenant compte du fait que : :math:`EA(L)\frac{\partial u}{\partial x}(L)={F}_{x}` , :math:`u(0)=0` pour la détermination des constantes d’intégration, nous obtenons l’expression analytique de :math:`u(x)` , soit : :math:`u(x)=\frac{{F}_{x}L}{{A}_{1}\mathrm{Ec}}\log(1+c\frac{x}{L})` Pour les efforts internes et contraintes, nous avons : :math:`\begin{array}{}N(x)={F}_{x}\\ {\sigma}_{xx}=\frac{N(x)}{A(x)}\end{array}` Poutre soumise à un effort de flexion ponctuel :math:`\mathit{Fy}` ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ Le mouvement est donné par l’équation : :math:`\frac{{\partial}^{2}}{\partial {x}^{2}}\left[E{I}_{z}(x)\frac{{\partial}^{2}v}{\partial {x}^{2}}\right]=0` avec :math:`{I}_{z}(x)={I}_{{z}_{1}}{(1+c\frac{x}{L})}^{3}` et :math:`c={(\frac{{I}_{{z}_{2}}}{{I}_{{z}_{1}}})}^{\frac{1}{3}}-1` , :math:`{V}_{y}(L)={F}_{y}` Le même raisonnement que pour la section circulaire mène au résultat suivant : :math:`v(x)=-\frac{{F}_{y}{L}^{2}}{2E{I}_{{z}_{1}}{c}^{3}}\frac{\left[2\mathrm{Lcx}+{c}^{2}{x}^{2}-{c}^{3}{x}^{2}+2L(L+\mathrm{cx})\log(\frac{L}{L+\mathrm{cx}})\right]}{(L+\mathrm{cx})}` :math:`{\theta}_{z}(x)=\frac{{F}_{y}{L}^{2}}{2{\mathrm{EI}}_{{z}_{1}}}\frac{x(2L-x+\mathrm{cx})}{{(L+\mathrm{cx})}^{2}}` Nous devons avoir pour les efforts internes et les contraintes : :math:`\begin{array}{}{V}_{y}(x)={F}_{y}\\ \\ {M}_{{F}_{z}}(x)={F}_{y}(L-x)\\ \\ {\sigma}_{xx}(x)=\frac{{H}_{y}(x){M}_{{F}_{x}}(x)}{{\mathrm{2I}}_{z}(x)}\\ \\ {\sigma}_{xy}(x)=\frac{{V}_{y}(x)}{A(x)}\end{array}` Poutre soumise à un moment de torsion ponctuel :math:`\mathit{Mx}` ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ Le mouvement est donné par l’équation : :math:`\frac{\partial}{\partial x}\left[G{I}_{p}(x)\frac{\partial {\theta}_{x}}{\partial x}\right]=0` avec :math:`{I}_{p}(x)={I}_{{p}_{1}}{(1+c\frac{x}{L})}^{3}` et :math:`c={(\frac{{I}_{{p}_{2}}}{{I}_{{p}_{1}}})}^{\frac{1}{3}}-1` , :math:`{M}_{x}(L)={M}_{x}` Par le même raisonnement que la poutre à section circulaire, nous obtenons l’expression analytique de :math:`{\theta}_{x}(x)` : :math:`{\theta}_{x}(x)=\frac{L{M}_{x}x(2L+\mathrm{cx})}{2{I}_{{p}_{1}}G{(L+\mathrm{cx})}^{2}}` :math:`{I}_{{p}_{1}}` et :math:`{I}_{{p}_{2}}` sont calculés selon les formules données dans la documentation de référence [:ref:`R3.08.01 `]. Les efforts internes et les contraintes sont donnés par : :math:`\begin{array}{}{M}_{x}(x)={M}_{x}\\ {\sigma}_{xy}(x)=\frac{{M}_{x}(x)}{{I}_{p}(x)}{R}_{T}(x)={\sigma}_{xz}\end{array}` Poutre soumise à un moment de flexion ponctuel :math:`\mathit{My}` ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ On reprend le même raisonnement que précédemment, on obtient les expressions analytiques suivantes pour :math:`w(x)` et :math:`{\theta}_{y}(x)` : :math:`\begin{array}{}w(x)=-\frac{L{M}_{y}{x}^{2}}{2{\mathrm{EI}}_{{y}_{1}}(L+\mathrm{cx})}\\ \\ {\theta}_{y}(x)=\frac{L{M}_{y}x(2L+\mathrm{cx})}{2E{I}_{{y}_{1}}{(L+\mathrm{cx})}^{2}}\end{array}` pour les efforts : :math:`\begin{array}{}{V}_{z}(x)=0\\ {\mathrm{MF}}_{y}(x)={M}_{y}\end{array}` et pour les contraintes : :math:`{\sigma}_{xx}(x)=\frac{{H}_{z}(x){\mathrm{MF}}_{y}(x)}{2{I}_{y}(x)}` Poutre soumise à un effort de traction réparti de façon constante :math:`\mathrm{Fx}` ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ L’équation d’équilibre est : :math:`\frac{\partial}{\partial x}\left[\mathrm{EA}(x)\frac{\partial u}{\partial x}\right]=-{f}_{x}` avec :math:`A(x)={A}_{1}(1+c\frac{x}{L})` et :math:`c=(\frac{{A}_{2}}{{A}_{1}})-1` . Après deux intégrations et en tenant compte du fait que :math:`N(L)=0` pour déterminer la première constante d’intégration, et :math:`u(0)=0` pour déterminer la deuxième, nous obtenons l’expression analytique de :math:`u(x)` : :math:`u(x)=\frac{-L{f}_{x}}{E{A}_{1}{c}^{2}}\left[cx+(L+{L}_{c})\log(\frac{L}{L+cx})\right]` Les efforts internes sont connus par l’expression suivante : :math:`N(x)={f}_{x}(L-x)` et les contraintes par : :math:`{\sigma}_{xx}(x)=\frac{{f}_{x}(L-x)}{A(x)}` Poutre soumise à un effort de flexion réparti de façon constante :math:`\mathrm{Fy}` ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ L’équation d’équilibre est: :math:`\frac{{\partial}^{2}}{\partial {x}^{2}}\left[{\mathrm{EI}}_{z}(x)\frac{{\partial}^{2}v}{\partial {x}^{2}}\right]=-{f}_{y}` avec :math:`{I}_{z}(x)={I}_{{z}_{1}}{(1+c\frac{x}{L})}^{3}` et :math:`c={(\frac{{I}_{{z}_{2}}}{{I}_{{z}_{1}}})}^{\frac{1}{3}}-1` Nous intégrons successivement quatre fois cette équation. Les constantes d’intégration sont calculées en tenant compte du fait que : :math:`\begin{array}{}{V}_{y}(L)=0\\ {\mathrm{MF}}_{z}(L)=0\\ \frac{\partial v}{\partial x}(0)=0\\ v(0)=0\end{array}` Le résultat analytique pour la flèche et la rotation en :math:`L` est le suivant : :math:`\begin{array}{}v(x)=\frac{{L}^{3}{f}_{y}}{4E{I}_{{z}_{1}}{c}^{4}(L+cx)}\left[x(6\mathrm{Lc}+4{\mathrm{Lc}}^{2})+{x}^{2}({\mathrm{5c}}^{2}+{\mathrm{2c}}^{3}-{c}^{4})\right]\\ +({\mathrm{6L}}^{2}+{\mathrm{4L}}^{2}c+\mathrm{8Lcx}+4{\mathrm{Lc}}^{2}x+{\mathrm{2c}}^{2}{x}^{2})\log(\frac{L}{L+\mathrm{cx}})\end{array}` :math:`\begin{array}{}{\theta}_{z}(x)=\frac{{L}^{3}{f}_{y}}{4{\mathrm{EI}}_{{z}_{1}}{c}^{3}{(L+\mathrm{cx})}^{2}}\left[x(2\mathrm{Lc}+2{\mathrm{Lc}}^{3})+{x}^{2}(3{c}^{2}+2{c}^{3}-{c}^{4})\right]\\ +(2{L}^{2}+\mathrm{Lcx}+2{c}^{2}{x}^{2})\log(\frac{L}{L+\mathrm{cx}})\end{array}` Les efforts internes sont donnés par les expressions suivantes : :math:`{V}_{y}(x)={f}_{y}(L-x)` , :math:`{\mathrm{Mf}}_{z}(x)=\frac{1}{2}{f}_{y}{(L-x)}^{2}` les contraintes par : :math:`\begin{array}{}{\sigma}_{xy}(x)=\frac{{V}_{y}(x)}{A(x)}\\ {\sigma}_{xx}(x)=∣\frac{{\mathrm{Mf}}_{z}(x){h}_{y}}{{I}_{z}(x)2}∣\end{array}` Section générale ~~~~~~~~~~~~~~~~ Poutre soumise aux forces de pesanteur ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ Les efforts de pesanteur sont appliqués suivant l’axe :math:`z` . Le mouvement de la poutre induit par ces efforts est donc un mouvement de flexion dans le plan :math:`(xoz)` . L’équation d’équilibre est donnée par l’expression : :math:`\frac{{\partial}^{2}}{\partial {x}^{2}}(E{I}_{y}(x)\frac{{\partial}^{2}w}{\partial {x}^{2}})=\underset{\mathrm{poids}\mathrm{linéique}}{\rho A(x)g}` avec :math:`A(x)={A}_{1}{(1+c\frac{x}{L})}^{2}` , :math:`c={(\frac{{A}_{2}}{{A}_{1}})}^{\frac{1}{2}}-1` et :math:`{I}_{y}(x)={I}_{\mathrm{y1}}{(1+d\frac{x}{L})}^{4}` :math:`d={(\frac{{I}_{\mathrm{y2}}}{{I}_{\mathrm{y1}}})}^{\frac{1}{4}}-1` En intégrant une première fois, nous obtenons l’effort tranchant interne : :math:`{V}_{z}(x)=-\int\rho A(x)g\mathrm{dx}+{C}_{1}` :math:`{C}_{1}` est déterminé de façon à ce que :math:`{V}_{z}(L)=0` . Nous obtenons : :math:`{V}_{z}(x)=\frac{L{A}_{1}\rho g}{3c}\left[-{(1+c\frac{x}{L})}^{3}+{(1+c)}^{3}\right]` . En intégrant une deuxième fois, nous obtenons le moment de flexion interne: :math:`{M}_{y}(x)=\int{V}_{z}(x)\mathrm{dx}+{c}_{2}` :math:`{C}_{2}` est calculé afin que :math:`{M}_{y}(L)=0` Nous obtenons : :math:`{M}_{y}(x)=\frac{{A}_{1}\rho g}{12{L}^{2}}{(L-x)}^{2}(6{L}^{2}+8{L}^{2}c+3{L}^{2}{c}^{2}+4\mathrm{Lcx}+2\mathrm{Lcx}+\frac{2{\mathrm{Lc}}^{2}x}{+{c}^{2}{x}^{2}})` Nous calculons ensuite la rotation à partir de la loi de comportement :math:`{M}_{y}(x)=E{I}_{y}(x)\frac{\partial {\theta}_{y}}{\partial x}` Nous avons donc :math:`{\theta}_{y}(x)=\int\frac{{M}_{y}(x)}{E{I}_{y}(x)}\mathrm{dx}+{C}_{3}` avec :math:`{\theta}_{y}(0)=0` La flèche :math:`w(x)` est déterminée à partir de la relation d’Euler : :math:`{\theta}_{y}=-\frac{\partial w}{\partial x}` Nous calculons :math:`w(x)` par intégration de :math:`{\theta}_{y}(x)` : :math:`w(x)=-\int{\theta}_{y}(x)+{C}_{4}` avec :math:`{C}_{4}` telle que :math:`w(0)=0` . Les expressions analytiques de :math:`{\theta}_{y}(x)` et :math:`w(x)` ne sont pas retranscrites ici car elles sont beaucoup trop lourdes. Elles ont été calculées, comme les précédentes, par le logiciel de calcul formel MATHEMATICA. Résultats de référence ---------------------- * Déplacements et rotations à l’extrémité libre * Efforts intérieurs aux deux extrémités * Contraintes aux deux extrémités Incertitude sur la solution --------------------------- Solution analytique. Références bibliographiques --------------------------- [:ref:`1 <1>`] Rapport n° 2314/A de l’Institut Aérotechnique «Proposition et réalisation de nouveaux cas tests manquant à la validation des poutres ASTER»