2. Solution de référence

2.1. Méthode de calcul

Le problème à résoudre est :

\({\int}_{\Omega}\sigma (\frac{\partial {u}^{\to }}{\partial x})+\sum(\frac{\partial {\nu}^{\to }}{\partial x})-\lambda (\frac{\partial {u}^{\to }}{\partial x}-{\nu}^{\to })+{\lambda}^{\to }(\frac{\partial u}{\partial x}-\nu )+r(\frac{\partial u}{\partial x}-\nu )(\frac{\partial {u}^{\to }}{\partial x}-{\nu}^{\to })=0\)

avec \(\forall {u}^{},{\nu}^{},{\lambda}^{}\) cinématiquement admissibles.

Nous avons:

\(\lbrace \begin{array}{c}\sigma =E\frac{\partial u}{\partial x}\\ \Sigma =F\frac{\partial \nu }{\partial x}\end{array}\)

Notons \(\omega\) les fonctions de forme du second ordre et \(\text{N}\) les fonctions de forme du premier ordre sur les éléments linéaires,

Rappelons par la même occasion les définitions de SEG2 et SEG3:

SEG2 : segment à 2 nœuds

nombre de nœuds : 2

nombre de nœuds sommets : 2

Figure 2.1-a

SEG3 : segment à 3 nœuds

nombre de nœuds : 3

nombre de nœuds sommets : 2

Figure 2.1-b

\({N}_{1}=\frac{1-x}{2}\) et \({N}_{2}=\frac{1+x}{2}\) sur l’élément de référence \(x\in \left[-1,+1\right]\) avec \({N}_{1}\) la fonction de forme

au premier nœud.

Les fonctions de forme du segment aux 3 nœuds sont alors:

\({\omega}_{1}=-\frac{x(1-x)}{2}\) \({\omega}_{2}=\frac{x(1+x)}{2}\) et \({\omega}_{3}=1-{x}^{2}\)

En posant \({u}^{}={\nu}^{}=0\) nous montrons que :

\({\int}_{-1}^{+1}{\lambda}^{}(\frac{\partial u}{\partial x}-\nu )\mathrm{dx}=0\) or \(u={\omega}_{1}.{u}_{1}+{\omega}_{2}.{u}_{2}+{\omega}_{3}.{u}_{3}\) avec \({u}_{2}=0\) (\(\text{C.L.}\) )

d’où \(\frac{\partial u}{\partial x}=(x-\frac{1}{2}){u}_{1}-2x{u}_{3}\) et \(v={N}_{1}.{\nu}_{1}+{N}_{2}.{\nu}_{2}\) avec \({\nu}_{2}=0\) (\(\text{C.L.}\) )

Nous avons donc \(\nu =\frac{(1-x)}{2}{\nu}_{1}\) or, il est à noter après intégration que : \({\nu}_{1}=-{u}_{1}\) (1) \(\forall {u}^{},{\nu}^{},{\lambda}^{}\) cinématiquement admissibles.

En procédant de la même façon et en posant : \({\nu}^{}={\lambda}^{}=0\) nous trouvons que :

\({u}_{3}=\frac{2(E-r)}{4(E+r)}.{u}_{1}\approx -\frac{{u}_{1}}{4}\) (2)

d’où la formule générale \({S}_{1}={\mathrm{3.a}}^{1}.\frac{\partial \nu }{\partial x}=-\frac{3}{2}.{a}^{1}.{\nu}_{1}\) et après simplification \({S}_{1}=\frac{3}{2}.{a}^{1}.{u}_{1}\) .

2.2. Grandeurs et résultats de référence

La formule fondamentale et très générale pour le solide est \({S}_{1}=\frac{3}{2}.{a}^{1}.{u}_{1}\) .

2.3. Incertitudes sur la solution

Solution analytique.