Solution de référence
=====================


Méthode de calcul
------------------

Le problème à résoudre est :

:math:`{\int}_{\Omega}\sigma (\frac{\partial {u}^{\to }}{\partial x})+\sum(\frac{\partial {\nu}^{\to }}{\partial x})-\lambda (\frac{\partial {u}^{\to }}{\partial x}-{\nu}^{\to })+{\lambda}^{\to }(\frac{\partial u}{\partial x}-\nu )+r(\frac{\partial u}{\partial x}-\nu )(\frac{\partial {u}^{\to }}{\partial x}-{\nu}^{\to })=0`

avec :math:`\forall {u}^{},{\nu}^{},{\lambda}^{}` cinématiquement admissibles.

Nous avons:

:math:`\lbrace  \begin{array}{c}\sigma =E\frac{\partial u}{\partial x}\\ \Sigma =F\frac{\partial \nu }{\partial x}\end{array}`

Notons :math:`\omega` les fonctions de forme du second ordre et :math:`\text{N}` les fonctions de forme du premier ordre sur les éléments linéaires,

Rappelons par la même occasion les définitions de SEG2 et SEG3:

SEG2 : segment à 2 nœuds

nombre de nœuds : 2

nombre de nœuds sommets : 2


.. image:: images/10000000000001510000003C177B13C850F9EF4B.png
    :width: 2.6126in
    :height: 0.4764in


.. _RefImage_10000000000001510000003C177B13C850F9EF4B.png:

**Figure 2.1-a**

SEG3 : segment à 3 nœuds

nombre de nœuds : 3

nombre de nœuds sommets : 2


.. image:: images/100000000000016B0000006C23D2AE35EF82DE67.png
    :width: 2.8138in
    :height: 0.8571in


.. _RefImage_100000000000016B0000006C23D2AE35EF82DE67.png:

**Figure 2.1-b**

:math:`{N}_{1}=\frac{1-x}{2}` et :math:`{N}_{2}=\frac{1+x}{2}` sur l'élément de référence :math:`x\in \left[-1,+1\right]` avec :math:`{N}_{1}` la fonction de forme

au premier nœud.

Les fonctions de forme du segment aux 3 nœuds sont alors:

:math:`{\omega}_{1}=-\frac{x(1-x)}{2}` :math:`{\omega}_{2}=\frac{x(1+x)}{2}` et :math:`{\omega}_{3}=1-{x}^{2}`

En posant :math:`{u}^{}={\nu}^{}=0` nous montrons que :

:math:`{\int}_{-1}^{+1}{\lambda}^{}(\frac{\partial u}{\partial x}-\nu )\mathrm{dx}=0` or :math:`u={\omega}_{1}.{u}_{1}+{\omega}_{2}.{u}_{2}+{\omega}_{3}.{u}_{3}` avec :math:`{u}_{2}=0` (:math:`\text{C.L.}` )

d'où :math:`\frac{\partial u}{\partial x}=(x-\frac{1}{2}){u}_{1}-2x{u}_{3}` et :math:`v={N}_{1}.{\nu}_{1}+{N}_{2}.{\nu}_{2}` avec :math:`{\nu}_{2}=0` (:math:`\text{C.L.}` )

Nous avons donc :math:`\nu =\frac{(1-x)}{2}{\nu}_{1}` or, il est à noter après intégration que : :math:`{\nu}_{1}=-{u}_{1}` (1) :math:`\forall {u}^{},{\nu}^{},{\lambda}^{}` cinématiquement admissibles.

En procédant de la même façon et en posant : :math:`{\nu}^{}={\lambda}^{}=0` nous trouvons que :

:math:`{u}_{3}=\frac{2(E-r)}{4(E+r)}.{u}_{1}\approx -\frac{{u}_{1}}{4}` (2)

d'où la formule générale :math:`{S}_{1}={\mathrm{3.a}}^{1}.\frac{\partial \nu }{\partial x}=-\frac{3}{2}.{a}^{1}.{\nu}_{1}` et après simplification :math:`{S}_{1}=\frac{3}{2}.{a}^{1}.{u}_{1}` .


Grandeurs et résultats de référence
-----------------------------------

La formule fondamentale et très générale pour le solide est :math:`{S}_{1}=\frac{3}{2}.{a}^{1}.{u}_{1}` .


Incertitudes sur la solution
----------------------------

Solution analytique.