2. Solution de référence#
2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
La solution de référence est obtenue analytiquement pour une poutre de Timoshenko, prenant en compte la déformation à l’effort tranchant et l’inertie rotatoire des sections.
La solution est développée en série des modes propres. Les aspects théoriques sont développés dans la référence donnée en 2.4 .
2.1.1. Base modale#
Définissons les grandeurs adimensionnelles suivantes:
\({\lambda}_{n}={k}_{n}L\) longueurs d’onde
\({\Omega}_{n}=\frac{\rho A{L}^{4}}{\mathit{EI}}{\omega}_{n}^{2}\) valeurs propres
\(j=\frac{I}{A{L}^{2}}\) inertie rotatoire
\(g=\frac{\mathit{EI}}{k'AG{L}^{2}}\) coefficient de cisaillement
Chaque mode propre de nombre d’ondes \({k}_{n}\) est caractérisé par les grandeurs suivantes:
Les fréquences propres:
\({\Omega}_{1,2}=\frac{\rho A{L}^{4}}{\mathit{EI}}{\omega}_{1,2}^{2}=\frac{(g+j){\lambda}_{n}^{2}+1\pm \sqrt{{(g-j)}^{2}{\lambda}_{n}^{4}+2(g+j){\lambda}_{n}^{2}+1}}{2gj}\)
avec
\({\lambda}_{n}=n\pi\) , \(n=1,2,3,\mathrm{...}\) ,
(les indices 1 et 2 correspondent aux signes + et – devant la racine).
Les masses généralisées:
\({\mu}_{1,2}=\rho A={\left({k}_{n}-\frac{{\omega}_{1,2}^{2}\rho }{{k}_{n}k'G}\right)}^{2}\rho I\) .
Les pourcentages d’amortissement critique:
\({ϵ}_{1,2}=\frac{1}{2}\left(\alpha {\omega}_{1,2}+\frac{\beta}{{\omega}_{1,2}}\right)\)
2.1.2. Réponse harmonique#
L’amplitude et la phase de la flèche W sont données par
\(W(x)=\sum_{n=1}^{+\infty }{p}_{n}\left[\sum_{m=1}^{2}\frac{1}{{\mu}_{m}({\omega}_{m}^{2}-{\omega}^{2}+2i{ϵ}_{m}{\omega}_{m}\omega )}\right]\sin({k}_{n}x)\)
avec
\({p}_{n}=\frac{2{p}_{0}}{n\pi }\left[1-{(-1)}^{n}\right]\)
2.2. Résultats de référence#
Position |
Flèche \(W\) |
|
Amplitude (\(m\) ) |
Phase |
|
\(x=\frac{L}{4}\) |
\(2.136\times {10}^{-5}\) |
\(22.4\text{°}\) |
\(x=\frac{L}{2}\) |
\(1.342\times {10}^{-5}\) |
\(-121.5\text{°}\) |
\(x=3\frac{L}{4}\) |
\(2.136\times {10}^{-5}\) |
\(22.4\text{°}\) |
Les grandeurs effectivement testées dans le cas-test sont les parties réelles et imaginaires dont on donne les valeurs ci-dessous.
Position |
Flèche \(W\) |
|
Partie réelle (\(m\) ) |
Partie imaginaire (\(m\) ) |
|
\(x=\frac{L}{4}\) |
\(-1.9599467159360556\times {10}^{-5}\) |
\(-8.4917893914738073\times {10}^{-6}\) |
\(x=\frac{L}{2}\) |
\(-6.9993870268574731\times {10}^{-6}\) |
\(-1.1450108350939712\times {10}^{-5}\) |
\(x=3\frac{L}{4}\) |
\(-1.9599467159360556\times {10}^{-5}\) |
\(-8.4917893914738073\times {10}^{-6}\) |
2.3. Incertitude sur la solution#
Solution analytique.
2.4. Références bibliographiques#
ROBERT G., Solutions analytiques en dynamiques des structures, Rapport Samtech n° 121, Liège, 1996.