Solution de référence
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Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
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La solution de référence est obtenue analytiquement pour une poutre de Timoshenko, prenant en compte la déformation à l'effort tranchant et l'inertie rotatoire des sections.

La solution est développée en série des modes propres. Les aspects théoriques sont développés dans la référence donnée en  :ref:`2.4 <RefNumPara__5069_280392679>` .


Base modale
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Définissons les grandeurs adimensionnelles suivantes:

:math:`{\lambda}_{n}={k}_{n}L` longueurs d'onde

:math:`{\Omega}_{n}=\frac{\rho A{L}^{4}}{\mathit{EI}}{\omega}_{n}^{2}` valeurs propres

:math:`j=\frac{I}{A{L}^{2}}` inertie rotatoire

:math:`g=\frac{\mathit{EI}}{k'AG{L}^{2}}` coefficient de cisaillement

Chaque mode propre de nombre d'ondes :math:`{k}_{n}` est caractérisé par les grandeurs suivantes:

Les fréquences propres:

:math:`{\Omega}_{1,2}=\frac{\rho A{L}^{4}}{\mathit{EI}}{\omega}_{1,2}^{2}=\frac{(g+j){\lambda}_{n}^{2}+1\pm \sqrt{{(g-j)}^{2}{\lambda}_{n}^{4}+2(g+j){\lambda}_{n}^{2}+1}}{2gj}`

avec

:math:`{\lambda}_{n}=n\pi` , :math:`n=1,2,3,\mathrm{...}` ,

*(les indices 1 et 2 correspondent aux signes + et – devant la racine).*

Les masses généralisées:

:math:`{\mu}_{1,2}=\rho A={\left({k}_{n}-\frac{{\omega}_{1,2}^{2}\rho }{{k}_{n}k'G}\right)}^{2}\rho I` .

Les pourcentages d'amortissement critique:

:math:`{ϵ}_{1,2}=\frac{1}{2}\left(\alpha {\omega}_{1,2}+\frac{\beta}{{\omega}_{1,2}}\right)`


Réponse harmonique
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L'amplitude et la phase de la flèche W sont données par

:math:`W(x)=\sum_{n=1}^{+\infty }{p}_{n}\left[\sum_{m=1}^{2}\frac{1}{{\mu}_{m}({\omega}_{m}^{2}-{\omega}^{2}+2i{ϵ}_{m}{\omega}_{m}\omega )}\right]\sin({k}_{n}x)`

avec

:math:`{p}_{n}=\frac{2{p}_{0}}{n\pi }\left[1-{(-1)}^{n}\right]`

Résultats de référence
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+------------------------+--------------------------------------------------------+
| Position               | Flèche :math:`W`                                       |
|                        +-------------------------------+------------------------+
|                        | Amplitude (:math:`m` )        | Phase                  |
+------------------------+-------------------------------+------------------------+
| :math:`x=\frac{L}{4}`  | :math:`2.136\times {10}^{-5}` | :math:`22.4\text{°}`   |
+------------------------+-------------------------------+------------------------+
| :math:`x=\frac{L}{2}`  | :math:`1.342\times {10}^{-5}` | :math:`-121.5\text{°}` |
+------------------------+-------------------------------+------------------------+
| :math:`x=3\frac{L}{4}` | :math:`2.136\times {10}^{-5}` | :math:`22.4\text{°}`   |
+------------------------+-------------------------------+------------------------+

Les grandeurs effectivement testées dans le cas-test sont les parties réelles et imaginaires dont on donne les valeurs ci-dessous.


+------------------------+-------------------------------------------------------------------------------------------+
| Position               | Flèche :math:`W`                                                                          |
|                        +---------------------------------------------+---------------------------------------------+
|                        | Partie réelle (:math:`m` )                  | Partie imaginaire (:math:`m` )              |
+------------------------+---------------------------------------------+---------------------------------------------+
| :math:`x=\frac{L}{4}`  | :math:`-1.9599467159360556\times {10}^{-5}` | :math:`-8.4917893914738073\times {10}^{-6}` |
+------------------------+---------------------------------------------+---------------------------------------------+
| :math:`x=\frac{L}{2}`  | :math:`-6.9993870268574731\times {10}^{-6}` | :math:`-1.1450108350939712\times {10}^{-5}` |
+------------------------+---------------------------------------------+---------------------------------------------+
| :math:`x=3\frac{L}{4}` | :math:`-1.9599467159360556\times {10}^{-5}` | :math:`-8.4917893914738073\times {10}^{-6}` |
+------------------------+---------------------------------------------+---------------------------------------------+


Incertitude sur la solution
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*   Solution analytique.


.. _RefNumPara__5069_280392679:


Références bibliographiques
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*   ROBERT G., Solutions analytiques en dynamiques des structures, Rapport Samtech n° 121, Liège, 1996.