1. Problème de référence

1.1. Géométrie

Figure 1.1-1: Géométrie du problème

Hauteur : \(h=0.2\text{m}\)

Largeur : \(b=0.1\text{m}\)

Longueur : \(L=2\text{m}\)

Section : \(A=b\times h=0.02\text{m}\)

Inertie : \(I=\frac{b\times {h}^{3}}{12}=1.66\times {10}^{-5}\text{m}\)

Coefficient de réduction de section \(k'=\frac{5}{6}\)

1.2. Propriétés du matériau

Module d’Young	\(E=2.1\times {10}^{11}\mathit{Pa}\)
Coefficient de Poisson	\(\nu =0.3\)
Masse volumique	\(\rho =7800.0{\mathit{kg.m}}^{-3}\)
Module de cisaillement	\(G=\frac{E}{2(1+\nu )}=8.076\times {10}^{10}\text{Pa}\)
Coefficients de l’amortissement de Rayleigh	\(\alpha =1.6\times {10}^{-5}\text{s}\) et \(\beta =16{\text{s}}^{-1}\)

1.3. Conditions aux limites et chargements

On autorise que la flexion dans le plan \(\mathit{XY}\) et l’extension le long de l’axe \(X\) . Le modèle étant volumique, les conditions aux limites diffèrent quelque peu de celles que l’on imposerait à un modèle poutre.

Déplacement imposé:

En \(X=0\) , \(Y=h/2\)	\(\mathit{DX}=0\) , \(\mathit{DY}=0\)
En \(X=L\) , \(Y=h/2\)	\(\mathit{DX}=0\) , \(\mathit{DY}=0\)
En \(Z=b/2\)	\(\mathit{DZ}=0\)

Aux conditions précédentes, on ajoute la contrainte de planéité des sections en \(X=0\) et \(X=L\) . Cette contrainte peut s’exprimer comme suit. Désignons par \({x}^{T}=(X,Y,Z)\) le vecteur des coordonées et par \({u}^{T}=(\mathit{DX},\mathit{DY},\mathit{DZ})\) le vecteur des déplacements; la position d’un point est repérée par le vecteur \(x{'}^{T}={x}^{T}+{u}^{T}=(X',Y',Z')\) . Soient \(A\) , \(B\) et \(C\) trois points non-alignés de la section. Un point quelconque \(P\) est astreint à la condition :

\(∣\begin{array}{cccc}X{'}_{P}& Y{'}_{P}& Z{'}_{P}& 1\\ X{'}_{A}& Y{'}_{A}& Z{'}_{A}& 1\\ X{'}_{B}& Y{'}_{B}& Z{'}_{B}& 1\\ X{'}_{C}& Y{'}_{C}& Z{'}_{C}& 1\end{array}∣=0\)

Force imposée :

En \(Y=h\) , pour tout \(X\) , la mise en charge est définie par :

\(p(x,t)=p(x)\sin(\omega t)\)

avec \(p(x)={p}_{0}=5.0\times {10}^{4}{\text{N.m}}^{-1}\) et \(\omega =2000\pi {\text{rd.s}}^{-1}\) .