2. Solution de référence#

2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#

Il existe une solution analytique détaillée dans la référence [bib2].

Utilisons les notations suivantes:

\(E\)

:

module de Young

\(L\)

:

longueur de la barre

\(A\)

:

section de la barre

\(N\)

:

effort normal dirigé selon l’axe \(X\)

\(\alpha ,\beta\)

:

coefficients de l’amortissement de Rayleigh

\(\Omega\)

:

fréquence d’excitation

et posons

\(r=\sqrt{\frac{1+{\beta}^{2}/{\Omega}^{2}}{1+{\alpha}^{2}/{\Omega}^{2}}}\)

\(k=p+\mathit{iq}=\Omega \sqrt{\frac{p}{2E}}\left[\sqrt{r-\frac{1-\alpha \beta }{1+{\alpha}^{2}{\Omega}^{2}}}+i\sqrt{r+\frac{1-\alpha \beta }{1+{\alpha}^{2}{\Omega}^{2}}}\right]\)

Le déplacement en un point \(M(x)\) quelconque est donné par:

\(V(x)=\frac{N}{\mathit{EA}}\frac{A}{(p+\mathit{iq})(1+i\Omega \alpha )}\frac{\mathit{sh}\mathit{px}\cos\mathit{qx}+i\mathit{ch}\mathit{px}\sin\mathit{qx}}{\mathit{ch}L\cos\mathit{qL}+i\mathit{sh}\mathit{pL}\sin\mathit{qL}}\)

Déplacement \((m)\)

Vitesse \((m/s)\)

Accélération \((m/{s}^{2})\)

Partie réelle

–7.00 10–11

–3.18 10–6

2.76 10–5

Partie imaginaire

5.07 10–9

–4.40 10–8

–2.00 10–3

2.2. Résultats de référence#

Champs de déplacement, de vitesse et d’accélération de l’extrémité libre de la barre.

2.3. Incertitude sur la solution#

Solution numérique.

2.4. Références bibliographiques#

  1. T.KERBER « Sous-structuration harmonique dans le Code_Aster » , Rapport EDF, HP‑61/93‑104.

    1. ROBERT, Solutions analytiques en dynamique des structures, Rapport Samtech n°121, Mars 1996.

    1. RICHARD, Méthodes de sous-structuration dans le Code_Aster , Rapport interne EDF‑DER, HP-61/92-149.