Solution de référence
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Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
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Il existe une solution analytique détaillée dans la référence [:ref:`bib2 <bib2>`].

Utilisons les notations suivantes:


.. csv-table::

    ":math:`E`", ":", "module de Young"
    ":math:`L`", ":", "longueur de la barre"
    ":math:`A`", ":", "section de la barre"
    ":math:`N`", ":", "effort normal dirigé selon l’axe :math:`X`"
    ":math:`\alpha ,\beta`", ":", "coefficients de l’amortissement de Rayleigh"
    ":math:`\Omega`", ":", "fréquence d’excitation"


et posons

:math:`r=\sqrt{\frac{1+{\beta}^{2}/{\Omega}^{2}}{1+{\alpha}^{2}/{\Omega}^{2}}}`

:math:`k=p+\mathit{iq}=\Omega \sqrt{\frac{p}{2E}}\left[\sqrt{r-\frac{1-\alpha \beta }{1+{\alpha}^{2}{\Omega}^{2}}}+i\sqrt{r+\frac{1-\alpha \beta }{1+{\alpha}^{2}{\Omega}^{2}}}\right]`

Le déplacement en un point :math:`M(x)` quelconque est donné par:

:math:`V(x)=\frac{N}{\mathit{EA}}\frac{A}{(p+\mathit{iq})(1+i\Omega \alpha )}\frac{\mathit{sh}\mathit{px}\cos\mathit{qx}+i\mathit{ch}\mathit{px}\sin\mathit{qx}}{\mathit{ch}L\cos\mathit{qL}+i\mathit{sh}\mathit{pL}\sin\mathit{qL}}`


.. csv-table::

    "", "**Déplacement** :math:`(m)`", "**Vitesse** :math:`(m/s)`", "**Accélération** :math:`(m/{s}^{2})`"
    "Partie réelle", "–7.00 10–11", "–3.18 10–6", "2.76 10–5"
    "Partie imaginaire", "5.07 10–9", "–4.40 10–8", "–2.00 10–3"



Résultats de référence
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Champs de déplacement, de vitesse et d'accélération de l'extrémité libre de la barre.


Incertitude sur la solution
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Solution numérique.


Références bibliographiques
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1.  T.KERBER "Sous-structuration harmonique dans le *Code_Aster"* , Rapport EDF, HP‑61/93‑104.


2.  G. ROBERT, Solutions analytiques en dynamique des structures, Rapport Samtech n°121, Mars 1996.


3.  P. RICHARD, Méthodes de sous-structuration dans le *Code_Aster* , Rapport interne EDF‑DER, HP-61/92-149.