2. Solution de référence#

2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#

2.1.1. Cas 1 : extrémité libre#

L’équation de la poutre s’écrit:

(2.1)#\[\frac{{d}^{4}v}{{\mathit{dx}}^{4}}=\frac{-\rho S}{\mathit{EI}}\frac{{d}^{2}v}{{\mathit{dt}}^{2}}\]

On cherche une solution de la forme:

(2.2)#\[v(x)=\sin(\omega t)\left[A\cos(\mathit{kx})+B\sin(\mathit{kx})+C\cosh(\mathit{kx})+D\sinh(\mathit{kx})\right]\]

avec \(\omega =\sqrt{\frac{\mathit{EI}}{\rho S}}{k}^{2}\)

Les conditions aux limites sont les suivantes:

En \(x=0\) , \(v=0\) et \(\frac{{d}^{2}v}{{\mathit{dx}}^{2}}=0\)

En \(x=L\) , \(\frac{{d}^{2}v}{{\mathit{dx}}^{2}}=0\) et \(\frac{{d}^{3}v}{{\mathit{dx}}^{3}}=0\)

En remplaçant \(v\) par l’expression (), on obtient:

  • En \(x=0\) , \(A=C=0\) ;

  • En \(x=L\) , \(\sin(\mathit{kL})\cosh(\mathit{kL})=\cos(\mathit{kL})\sinh(\mathit{kL})\) (3)

Les six premières racines de () sont données dans le tableau suivant:

\(\mathit{kL}\)

\(0\)

\(3.9266\)

\(7.06858\)

\(10.2102\)

\(13.3518\)

\(16.4934\)

On en déduit les valeurs de \({\omega}_{i}\) , \(i=1,\mathrm{...},6\) .

2.1.2. Cas 2 : extrémité en appui élastique#

L’équation aux valeurs propres est la suivante:

(2.3)#\[\sin(\mathit{kL})\left({k}^{3}{L}^{3}\frac{\mathit{EI}}{{L}^{3}}\cosh(\mathit{kL})-K\sinh(\mathit{kL})\right)-\sinh(\mathit{kL})\left({k}^{3}{L}^{3}\frac{\mathit{EI}}{{L}^{3}}\cos(\mathit{kL})+K\sin(\mathit{kL})\right)=0\]

Les pulsations propres sont données par:

(2.4)#\[\omega =\frac{1}{{L}^{2}}\sqrt{\frac{\mathit{EI}}{\rho S}}{k}^{2}{L}^{2}\]

Les six premierès racines de () sont données dans le tableau suivant:

\(\mathit{kL}\)

\(2.7880886\)

\(4.5619625\)

\(7.1895724\)

\(10.249031\)

\(13.368916\)

\(16.502406\)

On en déduit alors les valeurs de \({\omega}_{i}\) , \(i=1,\mathrm{...},6\) .

2.2. Résultats de référence#

2.2.1. Cas 1 : extrémité libre#

La structure possède un mode rigide à fréquence nulle. Le tableau suivant présente les fréquences non nulles.

Mode

Fréquence (\(\mathit{Hz}\) )

1

\(85.5\)

2

\(277\)

3

\(577.9\)

4

\(988.2\)

5

\(1507.9\)

2.2.2. Cas 2 : extrémité en appui élastique#

Mode

Fréquence (\(\mathit{Hz}\) )

1

\(43.1\)

2

\(115.4\)

3

\(286.5\)

4

\(582.3\)

5

\(990.7\)

6

\(1509.6\)

2.3. Incertitude sur la solution#

Solution analytique.