Solution de référence
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Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
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Cas 1 : extrémité libre
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L'équation de la poutre s'écrit:


.. math::
    :label: eq-1

    \frac{{d}^{4}v}{{\mathit{dx}}^{4}}=\frac{-\rho S}{\mathit{EI}}\frac{{d}^{2}v}{{\mathit{dt}}^{2}}

On cherche une solution de la forme:


.. math::
    :label: eq-2

    v(x)=\sin(\omega t)\left[A\cos(\mathit{kx})+B\sin(\mathit{kx})+C\cosh(\mathit{kx})+D\sinh(\mathit{kx})\right]

avec :math:`\omega =\sqrt{\frac{\mathit{EI}}{\rho S}}{k}^{2}`

Les conditions aux limites sont les suivantes:

En :math:`x=0` , :math:`v=0` et :math:`\frac{{d}^{2}v}{{\mathit{dx}}^{2}}=0`

En :math:`x=L` , :math:`\frac{{d}^{2}v}{{\mathit{dx}}^{2}}=0` et :math:`\frac{{d}^{3}v}{{\mathit{dx}}^{3}}=0`

En remplaçant :math:`v` par l'expression (), on obtient:


*   En :math:`x=0` , :math:`A=C=0` ;


*   En :math:`x=L` , :math:`\sin(\mathit{kL})\cosh(\mathit{kL})=\cos(\mathit{kL})\sinh(\mathit{kL})`         (3)

Les six premières racines de () sont données dans le tableau suivant:


.. csv-table::

    ":math:`\mathit{kL}`"
    ":math:`0`"
    ":math:`3.9266`"
    ":math:`7.06858`"
    ":math:`10.2102`"
    ":math:`13.3518`"
    ":math:`16.4934`"


On en déduit les valeurs de :math:`{\omega}_{i}` , :math:`i=1,\mathrm{...},6` .


Cas 2 : extrémité en appui élastique
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

L'équation aux valeurs propres est la suivante:


.. math::
    :label: eq-4

    \sin(\mathit{kL})\left({k}^{3}{L}^{3}\frac{\mathit{EI}}{{L}^{3}}\cosh(\mathit{kL})-K\sinh(\mathit{kL})\right)-\sinh(\mathit{kL})\left({k}^{3}{L}^{3}\frac{\mathit{EI}}{{L}^{3}}\cos(\mathit{kL})+K\sin(\mathit{kL})\right)=0

Les pulsations propres sont données par:


.. math::
    :label: eq-5

    \omega =\frac{1}{{L}^{2}}\sqrt{\frac{\mathit{EI}}{\rho S}}{k}^{2}{L}^{2}

Les six premierès racines de () sont données dans le tableau suivant:


.. csv-table::

    ":math:`\mathit{kL}`"
    ":math:`2.7880886`"
    ":math:`4.5619625`"
    ":math:`7.1895724`"
    ":math:`10.249031`"
    ":math:`13.368916`"
    ":math:`16.502406`"


On en déduit alors les valeurs de :math:`{\omega}_{i}` , :math:`i=1,\mathrm{...},6` .


Résultats de référence
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Cas 1 : extrémité libre
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La structure possède un mode rigide à fréquence nulle. Le tableau suivant présente les fréquences non nulles.


.. csv-table::

    "Mode", "Fréquence (:math:`\mathit{Hz}` )"
    "1", ":math:`85.5`"
    "2", ":math:`277`"
    "3", ":math:`577.9`"
    "4", ":math:`988.2`"
    "5", ":math:`1507.9`"



Cas 2 : extrémité en appui élastique
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~


.. csv-table::

    "Mode", "Fréquence (:math:`\mathit{Hz}` )"
    "1", ":math:`43.1`"
    "2", ":math:`115.4`"
    "3", ":math:`286.5`"
    "4", ":math:`582.3`"
    "5", ":math:`990.7`"
    "6", ":math:`1509.6`"



Incertitude sur la solution
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Solution analytique.