2. Solution de référence#
2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
La solution de référence est obtenue analytiquement pour une poutre de Timoshenko, prenant en compte la déformation à l’effort tranchant et l’inertie rotatoire des sections. Les aspects théoriques sont développés dans la référence donnée en 2.4 .
Définissons les grandeurs adimensionnelles suivantes:
\({\Omega}_{n}=\frac{\rho A{L}^{4}}{\mathit{EI}}{\omega}_{n}^{2}\) valeurs propres
\(j=\frac{I}{A{L}^{2}}\) inertie rotatoire
\(g=\frac{\mathit{EI}}{k'AG{L}^{2}}\) coefficient de cisaillement
Les fréquences propres des premiers modes de flexions sont données par l’expression suivante:
\({\Omega}_{n}=\frac{(g+j){\lambda}_{n}^{2}+1-\sqrt{{(g-j)}^{2}{\lambda}_{n}^{4}+2(g+j){\lambda}_{n}^{2}+1}}{2gj}\)
avec
\({\lambda}_{n}=n\pi\) , \(n=1,2,3,\mathrm{...}\)
Les fréquences des modes d’extension sont données par:
\({f}_{n}=(\mathrm{2n}-1)\frac{1}{4L}\sqrt{\frac{E}{\rho}}\) , \(n=1,2,3,\mathrm{...}\)
2.2. Résultats de référence#
Mode |
Forme |
Fréquence (\(\mathit{Hz}\) ) |
1 |
flexion |
\(115.7\) |
2 |
flexion |
\(442.2\) |
3 |
extension |
\(648.6\) |
4 |
flexion |
\(931.6\) |
5 |
flexion |
\(1534.0\) |
2.3. Incertitude sur la solution#
Solution analytique.
2.4. Références bibliographiques#
ROBERT G., Solutions analytiques en dynamiques des structures, Rapport Samtech n° 121, Liège, 1996.