Solution de référence ===================== Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence -------------------------------------------------------- La solution de référence est obtenue analytiquement pour une poutre de Timoshenko, prenant en compte la déformation à l'effort tranchant et l'inertie rotatoire des sections. Les aspects théoriques sont développés dans la référence donnée en :ref:`2.4 ` . Définissons les grandeurs adimensionnelles suivantes: :math:`{\Omega}_{n}=\frac{\rho A{L}^{4}}{\mathit{EI}}{\omega}_{n}^{2}` valeurs propres :math:`j=\frac{I}{A{L}^{2}}` inertie rotatoire :math:`g=\frac{\mathit{EI}}{k'AG{L}^{2}}` coefficient de cisaillement Les fréquences propres des premiers modes de flexions sont données par l'expression suivante: :math:`{\Omega}_{n}=\frac{(g+j){\lambda}_{n}^{2}+1-\sqrt{{(g-j)}^{2}{\lambda}_{n}^{4}+2(g+j){\lambda}_{n}^{2}+1}}{2gj}` avec :math:`{\lambda}_{n}=n\pi` , :math:`n=1,2,3,\mathrm{...}` Les fréquences des modes d'extension sont données par: :math:`{f}_{n}=(\mathrm{2n}-1)\frac{1}{4L}\sqrt{\frac{E}{\rho}}` , :math:`n=1,2,3,\mathrm{...}` Résultats de référence ---------------------- .. csv-table:: "Mode", "Forme", "Fréquence (:math:`\mathit{Hz}` )" "1", "flexion", ":math:`115.7`" "2", "flexion", ":math:`442.2`" "3", "extension", ":math:`648.6`" "4", "flexion", ":math:`931.6`" "5", "flexion", ":math:`1534.0`" Incertitude sur la solution --------------------------- * Solution analytique. .. _RefNumPara__3063_280392679: Références bibliographiques --------------------------- * ROBERT G., Solutions analytiques en dynamiques des structures, Rapport Samtech n° 121, Liège, 1996.