2. Problème de référence#

Il s’agit de déterminer la réponse monodirectionnelle d’un barreau élastique à une onde de compression pour évaluer l’efficacité de la méthode CALM dans l’absorption d’une onde élastique sur une frontière du domaine. On cherche donc à évaluer la capacité de la méthode CALM à modéliser un amortissement radiatif. Pour cela, on se compare également à la capacité d’absorption des frontières absorbantes.

2.1. Géométrie#

On considère un barreau élastique orienté selon l’axe globale \(X\). Dans la Fig. 2.1 on montre la géométrie du barreau:

\(L_1\) est la longueur du barreau
\(L_2\) est la longueur de la couche CALM
\(H\) est la hauteur du barreau
\(A\) est le noeud de post-traitement, qui est positionné au milieu du barreau

_images/Geom_1.svg — Fig. 2.1 Géométrie du barreau élastique#

Dans le Tableau 2.1 on fournit les mesures géométriques du barreau.

Tableau 2.1 Mesures géométriques du barreau#
Mesure géométrique	Valeur [m]
\(L_1\)	\(800\)
\(L_2\)	\(200\)
\(H\)	\(4\)

En plus de la configuration géométrique présentée dans la Fig. 2.1, on étudie une deuxième configuration présentée dans la Fig. 2.2.

_images/Geom_2.svg — Fig. 2.2 Géométrie du barreau élastique avec une extrémité inclinée#

Il est connu que les frontières absorbantes diminuent progressivement leur capacité à absorber les ondes élastiques dès que l’incidence de l’onde n’est plus orthogonale par rapport à la frontière. En particulier, dès qu’on dépasse un angle d’incidence de \(30°\), la capacité d’absorption diminue drastiquement. Cette configuration nous est utile pour évaluer l’efficacité de la méthode CALM par rapport aux frontière absorbante. La configuration géométrique considérée présente un angle \(\phi=70°\).

2.2. Propriétés des matériaux#

Le barreau est composé d’un matériau élastique avec des caractéristiques qui sont résumées dans le Tableau 2.2, où:

\(E\) est le module d’Young
\(\rho\) est la densité volumique
\(\nu\) est le coefficient de Poisson

Tableau 2.2 Caractéristiques matériaux#
Caractéristique matériau	Valeur
\(E\) [\(MPa\)]	\(80\)
\(\rho\) [\(kg/m^3\)]	\(2000\)
\(\nu\) [\(-\)]	\(0\)

2.3. Modélisation et conditions aux limites#

Le barreau élastique est modélisé en déformations planes (D_PLAN) avec un maillage linéaire composé des éléments QUA4 carrés de taille \(l_{ef}=1\) m. Pour simuler une propagation monodirectionnelle on impose tous les degrés de liberté en direction \(Y\) nuls.

2.4. Chargement#

Le signal transitoire est imposé de deux façon différentes:

Pour les modélisation A, B, C et D on impose un déplacement \(d_{impo}\) sur le bord \(BC\) (Fig. 2.1)
Pour les modélisation E et F on impose une onde plane en direction \(-X\) sur la frontière DE (Fig. 2.1). On rappelle que l’onde plane est imposé dans code_aster via une frontière absorbante et en particulier via une fonction temporelle de vitesse. On intègre donc le signal utilisé dans les modélisation A,B,C et D

Le chargement imposé est une ondelette de Ricker, qui peut être écrit sous la forme suivante:

(2.1)#\[R(t)=(1-2(\pi f(t-t_0))^2)e^{-(\pi f(t-t_0))^2}\]

où:

\(t_0=0.6\) s
\(f=3\) Hz

Le pas de temps considéré est \(\Delta t=0.002\) s. Dans la Fig. 2.3 on montre l’ondelette de Ricker utilisée dans cette modélisation.

_images/Ricker_T.svg — Fig. 2.3 Representation de l’ondelette de Ricker imposée#

2.5. La modélisation de la couche CALM#

L’idée principale de la méthode CALM est de modéliser un amortissement qui monte progressivement tout au long de la couche pour absorber les ondes et sans générer un contraste trop élevé qui puisse générer des réflexions parasites. Pour faire cela, dans code_aster on peut définir des caractéristiques matériaux qui sont fonction de la géométrie. On définit donc l’amortissement en deux étapes:

La première étape est définir un amortissement de Rayleigh constant dans le barreau élastique. Pour cela, on recale un amortissement \(\xi_0=0.2\%\) entre \(1\) et \(10\) Hz
Ensuite, dans la couche CALM, on fait évoluer un amortissement de Rayleigh qui vaut \(\xi_0\%\) pour \(x=L_1\) et qui vaut \(\xi_{max}=400\%\) pour \(x=L_1+L_2\) avec une progression parabolique dépendante de la coordonnée \(x\)

Note

Dans la configuration géométrique du barreau avec frontière inclinée (Fig. 2.2) on aura également une dependance de la coordonnée \(y\).