1. Caughey Absorbing Layer Method : une méthode de couche absorbante

En considérant l’efficacité des méthodes qui utilisent les couches absorbantes avec des propriétés d’atténuation multi-directionnel, Semblat et al. [bib1] ont introduit une technique d’absorption basée sur une simple description du processus d’atténuation. Les modèles physiques sont généralement très efficients pour décrire les phénomènes d’atténuation ; cependant, ces modèles ne sont pas toujours simples à implémenter. Compte tenu du fait que l’amortissement de Caughey est déjà disponible dans la plupart des codes aux éléments finis, Semblat et al. [bib1] ont proposé d’utiliser cette formulation pour décrire l’atténuation des ondes dans une couche absorbante d’épaisseur finie. La méthode est appelée CALM (Caughey Absorbing Layer Method). Cette formulation est purement numérique mais, comme rappelé ci-après, une interprétation est possible dans certains cas. On rappelle que l’amortissement de Rayleigh est une méthode classique pour construire facilement la matrice d’amortissement \(\matrix{C}\) pour un modèle aux éléments fini avec la forme suivante :

(1.1)\[\matrix{C} = a_0 \matrix{M} + a_1 \matrix{K}\]

où \(\matrix{M}\) et \(\matrix{K}\) sont respectivement les matrices des masses et de raideur du système entier (on fournit plus de détails sur cette modélisation de l’amortissement dans le chapitre correspondant). Celle-ci est appelée matrice d’amortissement de Rayleigh ; \(a_0\) et \(a_1\) sont les coefficients de Rayleigh. \(\matrix{C}\) est la somme de deux termes : un proportionnel à la matrice des masses \(\matrix{M}\), un à la matrice de raideur \(\matrix{K}\). Une formulation d’amortissement plus générale a été proposée par Caughey et elle est exprimée comme suit :

(1.2)\[\matrix{C} = \matrix{M} \sum_{j=0}^{m-1} a_j (\matrix{M}^{-1} K)^j\]

En observant l’équation (1.2), on peut remarquer que la formulation de Rayleigh correspond à la formulation de Caughey d’ordre 2 (\(m=2\)), c’est-à-dire une combinaison linéaire des matrices des masses et de raideur. Cette façon de construire la matrice d’amortissement est très efficace car l’opération est très simple et elle est souvent disponible dans la plupart des codes de calcul. De plus, dans une approche modale, la matrice d’amortissement de Rayleigh (ou Caughey) est diagonale dans la base modale. Cet amortissement est donc appelé proportionnel ou classique. Dans le cas d’un amortissement non proportionnel, les modes complexes doivent être calculés (afin de découpler les équations modales). L’amortissement de Rayleigh (ou Caughey) peut être aussi utilisé pour analyser la propagation d’une onde élastique amortie. Pour cette raison, il peut être utile d’avoir une interprétation rhéologique d’une telle formulation purement numérique. Dans le domaine de la propagation des ondes mécaniques, une équivalence entre la formulation de Rayleigh et de Maxwell généralisée a été déjà proposée ([bib2], [bib3]), brièvement rappelée dans la suite.

Considérons l’amortissement de Rayleigh. Le coefficient de perte global peut être écrit comme suit :

(1.3)\[\eta = 2\xi = \frac{a_0}{\omega} + a_1 \omega\]

où \(\omega\) est la pulsation et \(\xi\) est le coefficient d’amortissement. En supposant une relation entre la dissipation interne et la fréquence pour l’amortissement de Rayleigh, il est possible de construire un modèle rhéologique avec une atténuation aussi dépendant de la fréquence. Pour un modèle rhéologique viscoélastique de modules complexes \(M=M_R+iM_I\), l’expression du facteur de qualité \(Q\) est donnée, dans le domaine de la géophysique et de l’acoustique, comme suit :

(1.4)\[Q = \frac{M_R}{M_I}\]

Pour un amortissement de Rayleigh faible ou modéré, il y a une relation simple entre l’inverse du facteur qualité et le rapport d’amortissement, c’est-à-dire \(Q^{-1} = 2 \xi\). Donc, le coefficient de perte globale est nul pour une fréquence qui tend vers zéro ou à l’infini. Cela nous montre clairement un comportement du modèle à travers des réponses instantanées et à long terme. Comme montré dans [bib25] et [bib26], un modèle rhéologique qui satisfait parfaitement ces besoins (atténuation dépendant de la fréquence, effets instantanés et à long terme) est un cas particulier d’un modèle de Maxwell généralisé.

Fig. 1.1 Modèle de Maxwell généralisé et courbe du coefficient de perte correspondant pour des ondes longitudinales qui traversent une barre

Dans la Fig. 1.1, on peut observer une interprétation rhéologique du modèle : on connecte, en parallèle, un schéma classique de Maxwell avec un amortisseur simple. Le modèle de Maxwell généralisé peut être caractérisé par ses modules complexes à partir desquels on peut facilement dériver l’inverse du facteur de qualité, qui prend la même forme que le facteur de qualité du modèle de l’amortissement de Rayleigh : il est la somme de deux termes, un proportionnel à la fréquence et un autre inversement proportionnel à la fréquence.

En considérant l’équation (1.3) et le modèle rhéologique présenté sur la Fig. 1.1, les coefficients de Rayleigh peuvent être très facilement reliés aux paramètres rhéologiques du modèle de Maxwell généralisé :

(1.5)\[\begin{split}\left \lbrace \begin{array}{ll} a_0 = \frac{K(\xi_1 + \xi_2)}{\xi_1^2} \\ a_1 = \frac{\xi_2}{K} \end{array} \right.\end{split}\]

L’équivalence entre l’amortissement de Rayleigh et le modèle généralisé de Maxwell est remarquée pour des problèmes de propagation d’onde et en général en dynamique [bib2]. S’il y a besoin de caractériser un matériau réel, les coefficients de Rayleigh peuvent être identifiés via des résultats expérimentaux. Dans le cas de l’approche CALM, l’amortissement théorique sera choisi pour un matériau absorbant fictif (sans besoin d’identifier les paramètres expérimentalement).

Nous supposons, donc, un milieu élastique et une couche absorbante identifiée comme borne du milieu élastique. La couche absorbante est modélisée avec des propriétés d’amortissement appropriées afin d’atténuer les réflexions des ondes aux bords du domaine. Cette méthode (CALM) peut réduire l’amplitude de l’onde élastique qui vient du milieu élastique et, donc, la réflexion aux bornes artificielles du milieu. Différentes techniques avec différentes variations d’amortissement dans la couche absorbante sont proposées par Semblat et al. [bib1]. Les variations spatiales de l’amortissement sont contrôlées par des coefficients variables d’amortissement dans les éléments finis. En considérant un amortissement à la Rayleigh, la matrice d’amortissement élémentaire pour un élément fini \(\Omega_e\) s’écrit comme suit :

(1.6)\[\matrix{C}^e = a_0^e \matrix{M}^e + a_1^e \matrix{K}^e\]

où \(\matrix{M}^e\) et \(\matrix{K}^e\) sont respectivement les matrices des masses et de raideur pour l’élément fini \(\Omega_e\). Les coefficients de Rayleigh peuvent être différents dans chaque élément ou choisis constant par morceaux dans la couche absorbante.