1. Problème de référence#
1.1. Géométrie#
Il s’agit d’un anneau cylindrique, de rayon moyen \({R}_{m}=0.369m\) , d’épaisseur \(t=0.048m\) et de longueur \(L=0.05m\) .
1.2. Propriétés du matériau#
Le matériau est homogène, isotrope, élastique linéaire. Les coefficients élastiques sont:
\(E=185000\mathrm{MPa}\) et \(\nu =0.3\) .
La masse volumique est constante et vaut: \(\rho =7800{\mathrm{kg.m}}^{-3}\) .
1.3. Conditions aux limites et chargements#
La structure est libre dans l’espace.
1.4. Ordre de grandeur des fréquences propres#
Les modes propres recherchés correspondent aux modes de Fourier d’ordre 2 et 3 de l’anneau. Les fréquences d’un anneau peuvent être estimées à partir d’un modèle analytique de poutre courbe d’Euler [bib1]. Pour un mode de Fourier d’ordre \(n\) , la fréquence vaut:
\({f}_{n}=\frac{n({n}^{2}-1)}{2\pi {R}_{m}^{2}}\sqrt{\frac{E{I}_{y}}{m({n}^{2}+1)}}\)
où: \({I}_{y}=\frac{L{t}^{3}}{12}\) et \(m=\rho Lt\)
Pour les modes d’ovalisation (\(n=2\) ) et trifolié (\(n=3\) ), les fréquences correspondantes valent respectivement \(211.65\mathrm{Hz}\) et \(598.64\mathrm{Hz}\) . La recherche de modes propres est effectuée sur la bande \(200-800\mathrm{Hz}\) afin de capter ces deux modes de Fourier.
1.5. Référence bibliographique#
Blevins R.D., Formulas for natural frequency and mode shape, N.Y.: Van Nostrand Reynhold Company, 1979, 492 p.