2. Solution de référence#

2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#

  • première fréquence propre

Les données du problème sont choisies de telle manière que les raideurs en flexion et en extension sont grandes vis-à-vis des raideurs géométrique et centrifuge. Dans ces conditions, la valeur de la première fréquence propre s’obtient analytiquement en considérant un pendule rigide.

En prenant comme degré de liberté l’angle \(\theta\) entre le pendule et l’axe \(X\) l’équation du mouvement s’écrit :

\(2L\ddot{\theta}=\mathrm{3g}\cos\theta -{\Omega}^{2}(\mathrm{3a}+\mathrm{2L}\cos\theta )\sin\theta\)

On considère ici les petites oscillations \(\Delta \theta\) du pendule autour d’une position d’équilibre statique \({\theta}_{0}\) . En linéarisant l’équation du mouvement au voisinage de cette position, on obtient l’équation aux petites perturbations :

\(2L\Delta \ddot{\theta}+\left[\mathrm{3g}\sin{\theta}_{0}+{\Omega}^{2}(\mathrm{3a}\cos{\theta}_{0}+\mathrm{2L}\cos2{\theta}_{0})\right]\Delta \theta =0\)

On en déduit la pulsation du premier mode :

\(\omega =\sqrt{\frac{\mathrm{3g}}{\mathrm{2L}}\sin{\theta}_{0}+{\Omega}^{2}\left[\frac{\mathrm{3a}}{\mathrm{2L}}\cos{\theta}_{0}+\cos2{\theta}_{0}\right]}\)

Cette pulsation propre peut encore s’écrire sous la forme

\(\omega =\sqrt{\frac{K(\sigma )+K({\Omega}^{2})}{I}}\)

avec

\(K(\sigma )=\frac{1}{2}\rho S{L}^{2}g\sin{\theta}_{0}+\rho S{L}^{2}{\Omega}^{2}\left[\frac{a}{2}\cos{\theta}_{0}+\frac{L}{3}{\cos}^{2}{\theta}_{0}\right]\) (raideur géométrique)

\(K({\Omega}^{2})=-\frac{1}{3}\rho S{L}^{3}{\Omega}^{2}{\sin}^{2}{\theta}_{0}\) (raideur centrifuge)

\(I=\frac{1}{3}\rho S{L}^{3}\) (inertie en rotation)

  • autres fréquences propres

Les valeurs de référence des fréquences 2 à 6 sont obtenues numériquement au moyen de la version 7 du logiciel SAMCEF. On a utilisé deux modélisations différentes : 20 éléments de poutre déformable à l’effort tranchant et \(20\times 4\) éléments de membrane à 8 noeuds. Les résultats obtenus dans les deux cas sont identiques si l’on se limite aux 4 premiers chiffres significatifs. Vu que les corrections de raideur sont petites vis-à-vis des termes de raideur linéaire, on peut vérifier que les fréquences 2 à 6 diffèrent peu des valeurs analytiques obtenues pour une poutre élancée non déformable à l’effort tranchant. En fait, l’écart maximal entre les valeurs numériques et analytiques n’excède pas \(\text{1 \%}\) .

2.2. Résultats de référence#

Les 5 premières charges critiques sont classées par ordre de module croissant.

Mode

Fréquence propre ( \(\mathrm{Hz}\) )

1

1.75556

2

100.2

3

324.0

4

674.4

5

6

2.3. Incertitude sur la solution#

Solution analytique pour la première fréquence. Solution numérique pour les autres. La tolérance estimée des résultats numériques est de \(\text{1 \%}\) .

2.4. Références bibliographiques#

Sans objet.