Solution de référence
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Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
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*   première fréquence propre

Les données du problème sont choisies de telle manière que les raideurs en flexion et en extension sont grandes vis-à-vis des raideurs géométrique et centrifuge. Dans ces conditions, la valeur de la première fréquence propre s’obtient analytiquement en considérant un pendule rigide.

En prenant comme degré de liberté l’angle :math:`\theta`  entre le pendule et l’axe :math:`X` l’équation du mouvement s’écrit :

:math:`2L\ddot{\theta}=\mathrm{3g}\cos\theta -{\Omega}^{2}(\mathrm{3a}+\mathrm{2L}\cos\theta )\sin\theta`

On considère ici les petites oscillations :math:`\Delta \theta` du pendule autour d’une position d’équilibre statique :math:`{\theta}_{0}` . En linéarisant l’équation du mouvement au voisinage de cette position, on obtient l’équation aux petites perturbations :

:math:`2L\Delta \ddot{\theta}+\left[\mathrm{3g}\sin{\theta}_{0}+{\Omega}^{2}(\mathrm{3a}\cos{\theta}_{0}+\mathrm{2L}\cos2{\theta}_{0})\right]\Delta \theta =0`

On en déduit la pulsation du premier mode :

:math:`\omega =\sqrt{\frac{\mathrm{3g}}{\mathrm{2L}}\sin{\theta}_{0}+{\Omega}^{2}\left[\frac{\mathrm{3a}}{\mathrm{2L}}\cos{\theta}_{0}+\cos2{\theta}_{0}\right]}`

Cette pulsation propre peut encore s’écrire sous la forme

:math:`\omega =\sqrt{\frac{K(\sigma )+K({\Omega}^{2})}{I}}`

avec

:math:`K(\sigma )=\frac{1}{2}\rho S{L}^{2}g\sin{\theta}_{0}+\rho S{L}^{2}{\Omega}^{2}\left[\frac{a}{2}\cos{\theta}_{0}+\frac{L}{3}{\cos}^{2}{\theta}_{0}\right]` (raideur géométrique)

:math:`K({\Omega}^{2})=-\frac{1}{3}\rho S{L}^{3}{\Omega}^{2}{\sin}^{2}{\theta}_{0}` (raideur centrifuge)

:math:`I=\frac{1}{3}\rho S{L}^{3}` (inertie en rotation)


*   autres fréquences propres

Les valeurs de référence des fréquences 2 à 6 sont obtenues numériquement au moyen de la version 7 du logiciel SAMCEF. On a utilisé deux modélisations différentes : 20 éléments de poutre déformable à l’effort tranchant et :math:`20\times 4` éléments de membrane à 8 noeuds. Les résultats obtenus dans les deux cas sont identiques si l’on se limite aux 4 premiers chiffres significatifs. Vu que les corrections de raideur sont petites vis-à-vis des termes de raideur linéaire, on peut vérifier que les fréquences 2 à 6 diffèrent peu des valeurs analytiques obtenues pour une poutre élancée non déformable à l’effort tranchant. En fait, l’écart maximal entre les valeurs numériques et analytiques n’excède pas :math:`\text{1 \%}` .


Résultats de référence
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Les 5 premières charges critiques sont classées par ordre de module croissant.


.. csv-table::

    "**Mode**", "**Fréquence propre (** :math:`\mathrm{Hz}` **)**"
    "1", "1.75556"
    "2", "100.2"
    "3", "324.0"
    "4", "674.4"
    "5", "1150."
    "6", "1748."



Incertitude sur la solution
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Solution analytique pour la première fréquence. Solution numérique pour les autres. La tolérance estimée des résultats numériques est de :math:`\text{1 \%}` .


Références bibliographiques
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Sans objet.