2. Solution de référence

2.1. Méthode de calcul

2.1.1. Rappels

La modélisation BARRE ne transmet ni effort tranchant ni moment fléchissant. De ce fait, si on note \(E\) le module d’Young de l’élément, \(A\) l’aire de sa section et \(L\) sa longueur, la matrice de rigidité élémentaire \({K}^{\mathit{elem}}\) d’une barre est la suivante (avec les composantes dans l’ordre \(({\mathrm{DX}}_{1}{\mathrm{DY}}_{1}{\mathrm{DZ}}_{1}{\mathrm{DX}}_{2}{\mathrm{DY}}_{2}{\mathrm{DZ}}_{2})\) ):

\({K}^{\mathit{elem}}=(\begin{array}{cccccc}\frac{\mathit{EA}}{L}& 0& 0& \frac{-\mathit{EA}}{L}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ \frac{-\mathit{EA}}{L}& 0& 0& \frac{\mathit{EA}}{L}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array})\)

Le profil de la matrice de masse \({M}^{\mathit{elem}}\) est différent de la matrice de rigidité car la masse doit être prise en compte dans toutes les directions de l’espace. Ainsi, si on note \(\rho\) la masse volumique de l’élément, la matrice de masse élémentaire, avec \(m=\rho AL\) , est la suivante :

\({M}^{\mathit{elem}}=(\begin{array}{cccccc}m/3& 0& 0& m/6& 0& 0\\ 0& m/3& 0& 0& m/6& 0\\ 0& 0& m/3& 0& 0& m/6\\ m/6& 0& 0& m/3& 0& 0\\ 0& m/6& 0& 0& m/3& 0\\ 0& 0& m/6& 0& 0& m/3\end{array})\)

2.1.2. Calcul des forces internes et des réactions d’appui

Soit \(m\) la masse de l’élément et \(U\) le déplacement, alors si on choisit un champ de pesanteur selon \(X\) , les forces externes en chaque nœud sont les suivantes: \((-m/2,0,0)\) . Pour un comportement élastique de rigidité \(K\) , le seul déplacement non imposé \({U}_{{B}_{X}}\) est égal à \(\frac{{F}_{{B}_{X}}^{\mathit{ext}}}{K}=\frac{-m}{\mathrm{2K}}\) .

Si on note \({K}^{\mathit{elem}}\) la matrice de rigidité élémentaire, on a la relation \({F}^{int}={K}^{\mathit{elem}}U\) . On obtient les résultats suivants pour les forces internes: \({F}_{{O}_{X}}^{int}=\frac{m}{2}\) , \({F}_{{O}_{Y}}^{int}=0\) , \({F}_{{O}_{Z}}^{int}=0\) , \({F}_{{B}_{X}}^{int}=\frac{-m}{2}\) , \({F}_{{B}_{Y}}^{int}=0\) et \({F}_{{B}_{Z}}^{int}=0\) .

En notant \({R}^{\mathit{ap}}\) les réactions d’appui, on a la relation \({R}^{\mathit{ap}}={F}^{int}-{F}^{\mathit{ext}}\) . On a donc facilement : \({R}_{{O}_{X}}^{\mathit{ap}}=m\) et toutes les autres composantes nulles.

Remarque: pour les directions de chargement \(Y\) et \(Z\) , il n’y a pas de déplacement donc les forces internes sont nulles et les réactions d’appui sont égales aux forces externes.

2.1.3. Projection de la matrice de masse sur une base modale

Ce calcul a pour but de vérifier que pour un mode de déplacement unitaire \(\phi\) selon une direction donnée, on a l’égalité:

\({\phi }^{T}M\phi =m\)

2.1.4. Calcul de l’énergie cinétique

Ce calcul a pour but de vérifier que pour un mode de vitesse unitaire \(\phi\) selon une direction donnée, on a l’égalité:

\(\frac{1}{2}{\phi }^{T}M\phi =\frac{\mathit{mv}}{2}\) avec \(v=1\)