Solution de référence
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Méthode de calcul
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Rappels
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La modélisation BARRE ne transmet ni effort tranchant ni moment fléchissant. De ce fait, si on note :math:`E` le module d'Young de l'élément, :math:`A` l'aire de sa section et :math:`L` sa longueur, la matrice de rigidité élémentaire :math:`{K}^{\mathit{elem}}` d'une barre est la suivante (avec les composantes dans l'ordre :math:`({\mathrm{DX}}_{1}{\mathrm{DY}}_{1}{\mathrm{DZ}}_{1}{\mathrm{DX}}_{2}{\mathrm{DY}}_{2}{\mathrm{DZ}}_{2})` ):

:math:`{K}^{\mathit{elem}}=(\begin{array}{cccccc}\frac{\mathit{EA}}{L}& 0& 0& \frac{-\mathit{EA}}{L}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ \frac{-\mathit{EA}}{L}& 0& 0& \frac{\mathit{EA}}{L}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array})`

Le profil de la matrice de masse :math:`{M}^{\mathit{elem}}` est différent de la matrice de rigidité car la masse doit être prise en compte dans toutes les directions de l'espace. Ainsi, si on note :math:`\rho` la masse volumique de l'élément, la matrice de masse élémentaire, avec :math:`m=\rho AL` , est la suivante :

:math:`{M}^{\mathit{elem}}=(\begin{array}{cccccc}m/3& 0& 0& m/6& 0& 0\\ 0& m/3& 0& 0& m/6& 0\\ 0& 0& m/3& 0& 0& m/6\\ m/6& 0& 0& m/3& 0& 0\\ 0& m/6& 0& 0& m/3& 0\\ 0& 0& m/6& 0& 0& m/3\end{array})`


Calcul des forces internes et des réactions d'appui
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Soit :math:`m` la masse de l'élément et :math:`U` le déplacement, alors si on choisit un champ de pesanteur selon :math:`X` , les forces externes en chaque nœud sont les suivantes: :math:`(-m/2,0,0)` . Pour un comportement élastique de rigidité :math:`K` , le seul déplacement non imposé :math:`{U}_{{B}_{X}}` est égal à :math:`\frac{{F}_{{B}_{X}}^{\mathit{ext}}}{K}=\frac{-m}{\mathrm{2K}}` .

Si on note :math:`{K}^{\mathit{elem}}` la matrice de rigidité élémentaire, on a la relation :math:`{F}^{int}={K}^{\mathit{elem}}U` . On obtient les résultats suivants pour les forces internes: :math:`{F}_{{O}_{X}}^{int}=\frac{m}{2}` , :math:`{F}_{{O}_{Y}}^{int}=0` , :math:`{F}_{{O}_{Z}}^{int}=0` , :math:`{F}_{{B}_{X}}^{int}=\frac{-m}{2}` , :math:`{F}_{{B}_{Y}}^{int}=0`  et :math:`{F}_{{B}_{Z}}^{int}=0` .

En notant :math:`{R}^{\mathit{ap}}` les réactions d'appui, on a la relation :math:`{R}^{\mathit{ap}}={F}^{int}-{F}^{\mathit{ext}}` . On a donc facilement : :math:`{R}_{{O}_{X}}^{\mathit{ap}}=m`  et toutes les autres composantes nulles.

*Remarque: pour les directions de chargement* :math:`Y` *et* :math:`Z` *, il n'y a pas de déplacement donc les forces internes sont nulles et les réactions d'appui sont égales aux forces externes.*


Projection de la matrice de masse sur une base modale
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Ce calcul a pour but de vérifier que pour un mode de déplacement unitaire :math:`\phi` selon une direction donnée, on a l'égalité:

:math:`{\phi }^{T}M\phi =m`


Calcul de l'énergie cinétique
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Ce calcul a pour but de vérifier que pour un mode de vitesse unitaire :math:`\phi` selon une direction donnée, on a l'égalité:

:math:`\frac{1}{2}{\phi }^{T}M\phi =\frac{\mathit{mv}}{2}` avec :math:`v=1`