3. Modélisation A#

3.1. Caractéristiques de la modélisation#

Chacun des tubes du faisceau est représenté par 50 éléments de poutre droite de Timoshenko (MECA_POU_D_T), supportés par autant de mailles de type SEG2 (segments à 2 noeuds).

Un élément MECA_DIS_TR est ajouté en chaque noeud extrémité; ces éléments permettent de modéliser les tiges métalliques par des raideurs de rotation discrètes.

On affecte aux éléments des tubes les caractéristiques de section circulaire:

rayon extérieur	\({R}_{\mathrm{ext}}=4,75{.10}^{–3}m\)
épaisseur	\(e={5.10}^{-4}m\)	(cf paragraphe [§1.1])

On affecte également à ces éléments un matériau de comportement ELAS:

module d’Young	\(E=6,89{.10}^{10}\mathrm{Pa}\)
coefficient de Poisson	\(\nu =\mathrm{0,3 }\)
masse volumique	\(\rho =20450\mathrm{kg}/{m}^{3}\)	(cf paragraphe [§1.2])

On affecte aux éléments discrets une même raideur de rotation autour des deux axes orthogonaux à l’axe directeur du faisceau:

\({K}_{r}=6,29\mathrm{N.m}/\mathrm{rad}\)

Cette raideur de rotation a été ajustée afin de retrouver correctement la valeur de fréquence du premier mode double de flexion en air du faisceau.

Chaque corde à piano est représentée par un élément MECA_POU_D_T. On affecte à ces éléments la caractéristique d’une section circulaire pleine \(R={10}^{-3}m\) (cf paragraphe [§1.1]) et un matériau de comportement ELAS:

module d’Young	\(E=2,1{.10}^{11}\mathrm{Pa}\)
coefficient de Poisson	\(\nu =0,3\)
masse volumique	\(\rho =7800\mathrm{kg}/{m}^{3}\)	(cf paragraphe [§1.2])

Les degrés de liberté de translation en \(y\) et \(z\) (\(\mathrm{DY}\) et \(\mathrm{DZ}\) ) des noeuds aux extrémités de chaque tube sont bloqués. Afin d’interdire un mouvement de corps rigide (mouvement de translation axiale), on bloque également les degrés de liberté \(\mathrm{DX}\) des noeuds aux extrémités inférieures de chaque tube. Enfin, en chaque noeud, on bloque le degré de liberté de rotation \(\mathrm{DRX}\) pour interdire tout mouvement de torsion.

Un effort axial de compression de \(\mathrm{26,7 }N\) est appliqué en chacun des noeuds aux extrémités supérieures des tubes. L’intensité de l’effort a donc été réajustée afin de retrouver correctement la valeur de la fréquence du premier mode double de flexion en air du faisceau. Ce réajustement peut s’expliquer par la modélisation sommaire des tiges métalliques assurant le supportage et la mise en compression.

On déduit des efforts nodaux les vecteurs élémentaires d’effort, puis un vecteur assemblé qui est construit selon la numérotation des degrés de liberté de la structure complète. La déformée statique due à la mise en compression des tubes est alors obtenue en multipliant le vecteur assemblé par l’inverse de la matrice de rigidité structurelle. A l’aide de cette déformée statique, on calcule ensuite un champ de contraintes aux éléments, duquel est déduite une matrice de rigidité géométrique. Celle-ci est alors ajoutée à la matrice de rigidité structurelle afin d’obtenir la matrice de rigidité après la mise en compression des tubes, qui est finalement utilisée pour le calcul des modes en air.

Le faisceau est immergé dans une enceinte rectangulaire de dimensions \(\mathrm{7,8 }\mathrm{cm}\times \mathrm{4,2 }\mathrm{cm}\) (cfparagraphe [§2.1]). Les profils de masse volumique et de viscosité cinématique de l’eau environnante sont constants le long des tubes:

masse volumique	\({\rho}_{\mathrm{eau}}=1000\mathrm{kg}/{m}^{3}\)
viscosité cinématique	\({\nu}_{\mathrm{eau}}=1,1{.10}^{-6}{m}^{2}/s\)	(cf paragraphe [§1.2])

Les évolutions de la fréquence et de l’amortissement réduit des deux premiers modes de flexion du faisceau sont calculées pour des vitesses moyennes d’écoulement variant de \(0\) à \(\mathrm{10 }m/s\) par pas de \(\mathrm{1 }m/s\) . On tient compte d’un amortissement réduit initial de 12,3%.

3.2. Caractéristiques du maillage#

Le nombre total de noeuds utilisé pour ce maillage est de 459.

Les mailles sont au nombre de 470 et de type SEG2.

Le fichier de maillage est au format ASTER.

3.3. Etapes de calcul#

Les fonctionnalités que l’on souhaite valider sont celles des opérateurs de couplage fluide-structure, pour des configurations du type «faisceau de tubes sous écoulement axial».

Dans un premier temps, on définit les paramètres de prise en compte du couplage fluide-élastique, avec l’opérateur DEFI_FLUI_STRU mot-clé facteur FAISCEAU_AXIAL.

Ensuite, on effectue le calcul des évolutions des fréquences et amortissements réduits modaux en fonction de la vitesse moyenne de l’écoulement, avec l’opérateur CALC_FLUI_STRU et par la mise en œuvre du modèle MEFISTEAU.

La modélisation A permet de tester ces fonctionnalités avec la représentation complète du faisceau. En plus des opérateurs de couplage fluide-structure, d’autres modules de résolution et de calcul mécanique sont utilisés.

Dans notre cas, on calcule le champ de déplacements aux noeuds par inversion de la matrice de rigidité structurelle et multiplication de la matrice inverse obtenue par un vecteur d’effort assemblé avec les opérateurs FACTORISER et RESOUDRE.

Puis, on calcule la matrice de rigidité géométrique à l’aide d’un champ de contraintes aux éléments avec l’opérateur CALC_MATR_ELEM, option RIGI_GEOM.

3.4. Valeurs testées#

Les tests portent sur les fréquences et amortissements réduits des deux premiers modes de flexion du faisceau, à la vitesse moyenne d’écoulement de \(\mathrm{4 }m/s\) .

Les mesures expérimentales ne concernent que les caractéristiques du premier mode de flexion vibrant suivant le plus grand côté de l’enceinte. Ce mode est le premier déterminé par le calcul. On effectue deux types de test :

un test de comparaison avec les mesures expérimentales sur le premier mode,
un test portant sur les deux premiers modes afin de garantir la non régression du code.

3.4.1. Fréquences des deux premiers modes de flexion du faisceau#

Test de comparaison avec l’expérience sur le premier mode :

La tolérance d’écart relatif par rapport à la valeur expérimentale vaut 10%.

Numéro du mode	Valeur expérimentale	Valeur calculée	Ecart relatif
1	4,47 \(\mathrm{Hz}\)	4,735 \(\mathrm{Hz}\)	5.90%

3.4.2. Amortissements réduits des deux premiers modes de flexion du faisceau#

Test de comparaison avec l’expérience sur le premier mode :

La tolérance d’écart relatif par rapport à la valeur expérimentale vaut 20%.

Numéro du mode	Valeur expérimentale	Valeur calculée	Ecart relatif
1	19 %	22.6474%	+19,20 %

3.5. Remarques#

Les valeurs de référence sont celles obtenues par Code_Aster lors de la restitution du cas-test, ce qui permettra donc de vérifier la non régression ultérieure du code au cours de son évolution.