2. Solution de référence#

2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#

La solution de référence est celle donnée dans la fiche SDLL15/89 du guide VPCS qui présente la méthode de calcul de la façon suivante :

Le problème avec masse non excentrée conduit à des modes découplés :

  • traction-compression (effet de la masse seule),

  • torsion (effet de l’inertie autour de la fibre neutre),

  • flexion dans les plans \(x,y\) et \(x,z\) (effet de la masse).

Les différentes fréquences propres sont déterminées avec un modèle par éléments finis de poutre d’Euler (poutre élancée).

Pour le premier mode avec une masse excentrée, une méthode de Rayleigh donne la formule approchée :

\({f}_{1}=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{3E{I}_{z}}{{L}^{3}({m}_{c}+0.24M)}}\)

avec \(M\) = masse totale de la poutre.

Lorsque la masse est excentrée, les modes de flexion \((x,z)\) et de torsion sont couplés, ainsi que les modes de flexion \((x,y)\) et de traction-compression.

Pour le mode propre, les composantes au point \(B\) permettent de calculer les composantes au centre de gravité de la masse (point \(C\) ) par :

\(\left[\begin{array}{c}{u}_{c}\\ {v}_{c}\\ {w}_{c}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{u}_{B}\\ {v}_{B}\\ {w}_{B}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}0& {z}_{c}& -{y}_{c}\\ -{z}_{c}& 0& +{x}_{c}\\ +{y}_{c}& -{x}_{c}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\theta}_{\mathit{xB}}\\ {\theta}_{\mathit{yB}}\\ {\theta}_{\mathit{zB}}\end{array}\right]\)

\({u}_{c}={u}_{B}=-{\theta}_{\mathit{zB}}\)

Pour ce test:

\(\begin{array}{c}{v}_{c}={v}_{B}\\ {w}_{c}={w}_{B}+{\theta}_{\mathit{xB}}\end{array}\)

2.2. Résultats de référence#

Cas 1 : 10 premiers modes propres.

Cas 2 : 8 premiers modes propres.

2.3. Incertitude sur la solution#

Problème 1 :

\(\mathit{f1}\) solution analytique

autres fréquences \(\pm 1\text{\%}\)

Problème 2 :

\(\pm 1\text{\%}\)

2.4. Références bibliographiques#

  1. Groupe de travail Analyse Dynamique. Commission de Validation des Progiciels de Calcul de Structures. Société Française des Mécaniens. (1988)