2. Solution de référence#
2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
2.1.1. Modèle de référence#
Pour le modèle de référence, on suppose le vecteur de déplacement suivant:
\(x=\left(\begin{array}{c}{x}_{1}\\ {x}_{2}\\ {x}_{3}\end{array}\right)\)
Ainsi, les matrices structurelles de masse (M) et de raideur (K) sont:
\(M=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\) \(K=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ -1& 2& -1\\ 0& -1& 2\end{array}\right)\)
Les pulsations propres du système masse-ressort valent:
\({\omega}_{1}^{2}=(2-\sqrt{2})\) \({\omega}_{2}^{2}=2\) \({\omega}_{3}^{2}=(2+\sqrt{2})\)
de déformées modales respectives (normées à 1 selon la plus grande amplitude):
\({\varphi}_{1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}\sqrt{2}\\ 2\\ \sqrt{2}\end{array}\right)\) \({\varphi}_{2}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right)\) \({\varphi}_{3}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}-\sqrt{2}\\ 2\\ -\sqrt{2}\end{array}\right)\)
La matrice permettant d’observer parfaitement x1 et x2 est:
\(H=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right)\)
Par ailleurs la matrice norme (Gr) est choisie par combinaison des matrices réduites de Guyan de masse et de raideur. Pour leur construction, les modes statiques associés à x1 et x2 sont:
\({\psi}_{1}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)\) \({\psi}_{2}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0.5\end{array}\right)\)
formant la base de modes statiques \(\psi =\left[{\psi}_{1}{\psi}_{2}\right]\) . Cela conduit à:
\({G}_{r}={\psi}^{T}[K+M]\psi\) ;
\(\mathit{Gr}=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -1& 2.75\end{array}\right)\)
Les paramètres de pondération de \({e}_{\omega}^{2}(u,v,w)\) sont choisis \(\alpha =0.5\) et \(\gamma =0.5\) .
2.1.2. Construction du système linéaire associé au problème de la fonctionnelle d’erreur en relation de comportement.#
Le problème permettant de retrouver les champs associés à la fonctionnelle de type erreur en relation de comportement amène à la résolution du système matriciel linéaire suivant:
\(Al=b\)
avec, pour chaque pulsation propre \({\omega}_{i}\) :
\({A}_{i}=\left(\begin{array}{cc}\gamma (K+\gamma /(1-\gamma ){\omega}_{i}^{2}M)& -\gamma (K-{\omega}_{i}^{2}M)\\ -\gamma (K-{\omega}_{i}^{2}M)& (-2\alpha /(1-\alpha )){H}^{T}{G}_{r}H\end{array}\right)\) et \({b}_{i}=\left(\begin{array}{c}{0}_{3}\\ (-2\alpha /(1-\alpha )){H}^{T}{G}_{r}\widehat{{u}_{i}}\end{array}\right)\)
où \(\widehat{{u}_{i}}\) représente l’observation du mode \({\varphi}_{i}\) associé à la pulsation propre \({\omega}_{i}\) estimée. \(\alpha\) et \(\gamma\) sont, quant à eux, les paramètres de pondération associées à la fonctionnelle d’erreur.
Enfin, le vecteur solution \(l\) est la concaténation de deux champs associés a la fonctionnelle d’erreur de telle sorte que:
\(l=\left(\begin{array}{c}u-v\\ u\end{array}\right)\)
2.2. Résultats de référence#
Deux cas de référence sont testés:
Premier mode propre, observations parfaites:
\(\widehat{{u}_{1}}=\left(\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2}}{2}\\ 1\end{array}\right)\) ; \(\widehat{{\omega}_{1}}=(2-\sqrt{2})\)
Dans ce cas, le résultat est trivial car il doit amener à un résultat de fonctionnelle d’erreur parfaitement nul associé à:
\((u-v)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)\) ; \(u=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}\sqrt{2}\\ 2\\ \sqrt{2}\end{array}\right)\)
Deuxième mode propre, déplacements parfaits, et pulsation propre entachée d’erreur:
\(\widehat{{u}_{2}}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\end{array}\right)\) ; \(\widehat{{\omega}_{2}}=1.25\ast 2\)
Dans ce cas, la construction du problème matriciel \(Al=b\) amène à:
\(A=\left(\begin{array}{cccccc}1+{1.25}^{2}& -0.5& 0& -1+{1.25}^{2}& 0.5& 0\\ -0.5& 1+{1.25}^{2}& -0.5& 0.5& -1+{1.25}^{2}& 0.5\\ 0& -0.5& 1+{1.25}^{2}& 0& 0.5& -1+{1.25}^{2}\\ -1+{1.25}^{2}& 0.5& 0& -6& 2& 0\\ 0.5& -1+{1.25}^{2}& 0.5& 2& -5.5& 0\\ 0& 0.5& -1+{1.25}^{2}& 0& 0& 0\end{array}\right)\)
\(b=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 6\\ -2\\ 0\end{array}\right)\)
Ce système d’équations a été résolu à l’aide du logiciel Matlab, conduisant à la solution:
\(l=\left(\begin{array}{c}0.223608826207038\\ 0.107013222975753\\ -0.095122864867336\\ -0.957415448053491\\ 0.038110367724860\\ 0.494584477951991\end{array}\right)\)
Dans ce cas, la valeur de la fonctionnelle vaut:
\({e}_{{\omega}_{2}}^{2}(u,v,w)=0.089643288114668\)
dont la partie associé aux champs d’erreur est:
\(\frac{\gamma}{2}{(u-v)}^{T}[K](u-v)+\frac{1-\gamma }{2}{(u-w)}^{T}{\omega}^{2}[M](u-w)=0.083454681437031\)
2.3. Incertitude sur la solution#
Premier cas: solution analytique.
Deuxième cas: solution semi-analytique.