Solution de référence
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Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
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Modèle de référence
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Pour le modèle de référence, on suppose le vecteur de déplacement suivant:

:math:`x=\left(\begin{array}{c}{x}_{1}\\ {x}_{2}\\ {x}_{3}\end{array}\right)`

Ainsi, les matrices structurelles de masse (M) et de raideur (K) sont:

:math:`M=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)` :math:`K=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ -1& 2& -1\\ 0& -1& 2\end{array}\right)`

Les pulsations propres du système masse-ressort valent:

:math:`{\omega}_{1}^{2}=(2-\sqrt{2})` :math:`{\omega}_{2}^{2}=2` :math:`{\omega}_{3}^{2}=(2+\sqrt{2})`

de déformées modales respectives (normées à 1 selon la plus grande amplitude):

:math:`{\varphi}_{1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}\sqrt{2}\\ 2\\ \sqrt{2}\end{array}\right)` :math:`{\varphi}_{2}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right)` :math:`{\varphi}_{3}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}-\sqrt{2}\\ 2\\ -\sqrt{2}\end{array}\right)`

La matrice permettant d'observer parfaitement x1 et x2 est:

:math:`H=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right)`

Par ailleurs la matrice norme (Gr) est choisie par combinaison des matrices réduites de Guyan de masse et de raideur. Pour leur construction, les modes statiques associés à x1 et x2 sont:

:math:`{\psi}_{1}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)` :math:`{\psi}_{2}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0.5\end{array}\right)`

formant la base de modes statiques :math:`\psi =\left[{\psi}_{1}{\psi}_{2}\right]` . Cela conduit à:

:math:`{G}_{r}={\psi}^{T}[K+M]\psi` ;

:math:`\mathit{Gr}=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -1& 2.75\end{array}\right)`

Les paramètres de pondération de :math:`{e}_{\omega}^{2}(u,v,w)`  sont choisis :math:`\alpha =0.5` et :math:`\gamma =0.5` .




Construction du système linéaire associé au problème de la fonctionnelle d'erreur en relation de comportement.
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Le problème permettant de retrouver les champs associés à la fonctionnelle de type erreur en relation de comportement amène à la résolution du système matriciel linéaire suivant:

:math:`Al=b`

avec, pour chaque pulsation propre :math:`{\omega}_{i}` :

:math:`{A}_{i}=\left(\begin{array}{cc}\gamma (K+\gamma /(1-\gamma ){\omega}_{i}^{2}M)& -\gamma (K-{\omega}_{i}^{2}M)\\ -\gamma (K-{\omega}_{i}^{2}M)& (-2\alpha /(1-\alpha )){H}^{T}{G}_{r}H\end{array}\right)` et :math:`{b}_{i}=\left(\begin{array}{c}{0}_{3}\\ (-2\alpha /(1-\alpha )){H}^{T}{G}_{r}\widehat{{u}_{i}}\end{array}\right)`

où :math:`\widehat{{u}_{i}}` représente l'observation du mode :math:`{\varphi}_{i}` associé à la pulsation propre :math:`{\omega}_{i}` estimée. :math:`\alpha` et :math:`\gamma` sont, quant à eux, les paramètres de pondération associées à la fonctionnelle d'erreur.

Enfin, le vecteur solution :math:`l` est la concaténation de deux champs associés a la fonctionnelle d'erreur de telle sorte que:

:math:`l=\left(\begin{array}{c}u-v\\ u\end{array}\right)`




Résultats de référence
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Deux cas de référence sont testés:


1.  Premier mode propre, observations parfaites:


1.
    *

:math:`\widehat{{u}_{1}}=\left(\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2}}{2}\\ 1\end{array}\right)` ; :math:`\widehat{{\omega}_{1}}=(2-\sqrt{2})`

Dans ce cas, le résultat est trivial car il doit amener à un résultat de fonctionnelle d'erreur parfaitement nul associé à:

:math:`(u-v)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)` ; :math:`u=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}\sqrt{2}\\ 2\\ \sqrt{2}\end{array}\right)`


1.  Deuxième mode propre, déplacements parfaits, et pulsation propre entachée d'erreur:

:math:`\widehat{{u}_{2}}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\end{array}\right)` ; :math:`\widehat{{\omega}_{2}}=1.25\ast 2`

Dans ce cas, la construction du problème matriciel :math:`Al=b` amène à:

:math:`A=\left(\begin{array}{cccccc}1+{1.25}^{2}& -0.5& 0& -1+{1.25}^{2}& 0.5& 0\\ -0.5& 1+{1.25}^{2}& -0.5& 0.5& -1+{1.25}^{2}& 0.5\\ 0& -0.5& 1+{1.25}^{2}& 0& 0.5& -1+{1.25}^{2}\\ -1+{1.25}^{2}& 0.5& 0& -6& 2& 0\\ 0.5& -1+{1.25}^{2}& 0.5& 2& -5.5& 0\\ 0& 0.5& -1+{1.25}^{2}& 0& 0& 0\end{array}\right)`

:math:`b=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 6\\ -2\\ 0\end{array}\right)`

Ce système d'équations a été résolu à l'aide du logiciel Matlab, conduisant à la solution:

:math:`l=\left(\begin{array}{c}0.223608826207038\\ 0.107013222975753\\ -0.095122864867336\\ -0.957415448053491\\ 0.038110367724860\\ 0.494584477951991\end{array}\right)`

Dans ce cas, la valeur de la fonctionnelle vaut:

:math:`{e}_{{\omega}_{2}}^{2}(u,v,w)=0.089643288114668`

dont la partie associé aux champs d'erreur est:

:math:`\frac{\gamma}{2}{(u-v)}^{T}[K](u-v)+\frac{1-\gamma }{2}{(u-w)}^{T}{\omega}^{2}[M](u-w)=0.083454681437031`




Incertitude sur la solution
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Premier cas: solution analytique.

Deuxième cas: solution semi-analytique.