1. Problème de référence

Fig. 1.1 Système de 3 masses et 3 ressorts en parallèle

Notons \(u_i\) le déplacement absolu au nœud i et \(r_i\) la réaction d’ancrage.

Système d’équations d’équilibre :

(1.1)\[\begin{split}\begin{cases} k_1 (u_2 - u_1) + k_2 (u_3 - u_1) + k_3 (u_4 - u_1) + r_1 = 0 \\ -k_1 (u_2 - u_1) = m_2 \ddot{u}_2 \\ -k_2 (u_3 - u_1) = m_3 \ddot{u}_3 \\ -k_3 (u_4 - u_1) = m_4 \ddot{u}_4 \end{cases}\end{split}\]

Notons \(\mathbf{U} = \left[ u_1 \, u_2 \, u_3 \, u_4 \right]^T\) le vecteur des déplacements absolus des nœuds. On ramène l’équation sys_eq_equilibre sous la forme :

\[\mathbf{K} \, \mathbf{U} + \mathbf{M} \, \ddot{\mathbf{U}} = \mathbf{R}\]

Matrice de rigidité :

\[\begin{split}\mathbf{K} = \begin{bmatrix} k_1+k_2+k_3 & -k_1 & -k_2 & -k_3 \\ -k_1 & k_1 & 0 & 0 \\ -k_2 & 0 & k_2 & 0 \\ -k_3 & 0 & 0 & k_3 \end{bmatrix}\end{split}\]

Matrice de masse :

\[\begin{split}\mathbf{M} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & m_1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & m_2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & m_3 \end{bmatrix}\end{split}\]

Vecteur de réaction :

\[\mathbf{R} = \begin{bmatrix} r_1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}^T\]

Réarrangeons \(\mathbf{K}\) :

\[\begin{split}\underline{\underline{K}}^p = \left[ \begin{array}{c c c |c} k_1 & 0 & 0 & -k_1 \\ 0 & k_2 & 0 & -k_2 \\ 0 & 0 & k_3 & -k_3 \\ \hline -k_1 & -k_2 & -k_3 & k_1 + k_2 +k_3 \end{array} \right]\end{split}\]

\[\begin{split}\underline{\underline{K}}_{xx} = \begin{bmatrix} k_1 & 0 & 0 \\ 0 & k_2 & 0\\ 0 & 0 & k_3 \end{bmatrix}\end{split}\]

\[\begin{split}\underline{\underline{K}}_{xs} = \begin{bmatrix} - k_1 \\ - k_2 \\ - k_3 \end{bmatrix} = \underline{\underline{K}}_{sx}^T\end{split}\]

\[\underline{\underline{K}}_{ss} = \begin{bmatrix} k_1 + k_2 +k_3 \end{bmatrix}\]

\[\begin{split}\underline{\underline{M}}_{xx} = \begin{bmatrix} m_1 & 0 & 0 \\ 0 & m_2 & 0 \\ 0 & 0 & m_3 \end{bmatrix}\end{split}\]

Les masses sont identiques : \(m_1 = m_2 = m_3 = m\).

On prend :

\(k_1 = k\), \(k_2 = 1.21\,k\), \(k_3 = 1.44\,k\)

Soit \(\omega_i\) les pulsations propres et \(\phi_{i,\, x}\) les modes propres associés, on a :

\[\left( \mathbf{K}_{xx} - \omega_i^2 \mathbf{M}_{xx} \right)\phi_{i,\, x} = 0\]

\[\Rightarrow \det \left( \mathbf{M}_{xx}^{-1} \mathbf{K}_{xx} - \omega_i^2 \mathbf{I} \right) = 0\]

Comme \(\mathbf{K}_{xx}\) et \(\mathbf{M}_{xx}\) sont des matrices diagonales, les fréquences propres sont obtenues directement par :

\[\omega_i = \sqrt{\frac{k_i}{m_i}}\]

Fréquences propres :

\[f_i = \frac{\omega_i}{2 \pi}\]

Les modes propres dans la base des degrés de liberté liés à la structure (ddl libres) sont :

\[\begin{split}\phi_{1, x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0 \\ 0 \end{array}\right) , \; \phi_{2, x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1 \\ 0 \end{array}\right) , \; \phi_{3, x}=\left(\begin{array}{c}0\\0 \\ 1 \end{array}\right)\end{split}\]

Modes propres non normés \(\{\phi_{i}\} \in \mathbb{R}^{4 \times 1}\) dans le repère global :

\[\begin{split}\phi_{1}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1\\ 0 \\ 0 \end{array}\right) , \; \phi_{2}=\left(\begin{array}{c}0\\0\\ 1 \\ 0 \end{array}\right) , \; \phi_{3}=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0 \\ 1 \end{array}\right)\end{split}\]

Masse modale généralisé :

\({\mu }_{i} = \underline{\phi }_{i}^T \underline{\underline{M}} \, \underline{\phi }_{i}\)

\[\Rightarrow {\mu }_{1} = {\mu }_{2} = {\mu }_{3} = m\]

Modes propres normés à la masse modale généralisée unitaire \({\phi }_{\text{Ni}}\) :

\[\underline{\phi }_{\text{Ni}} = \frac{\underline{\phi}_i}{\sqrt{\mu_i}}\]

Les réactions modales \({\mathrm{F}}_{m,\,i}\) :

Nota : On suppose qu’aucune force d’excitation n’est appliquée sur les degrés de liberté de structure, les réactions sont calculées au niveau des supports.

Dans le repère repartitionné :

\[\begin{split}\underline{F}_{m, \,i}^p=\left(\begin{array}{c}\underline{0}\\ \underline{r}_i\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ 0 \\ r_i\end{array}\right)\end{split}\]

\[\begin{split}\underline{\phi }_{Ni}^p=\left(\begin{array}{c}\underline{\phi }_{Nix}^{}\\ \underline{\phi }_{Nis}^{}\end{array}\right)\end{split}\]

\[\underline{r}_i=\underline{\underline{K}}_{sx} \underline{\phi}_{Ni,\,x}\]

On en déduit :

\[\begin{split}\begin{split} \Rightarrow \underline{r}_1 &=\underline{\underline{K}}_{sx} \underline{\phi}_{N1,\,x} = \underline{\underline{K}}_{sx} \frac{\underline{\phi}_{1,\, x}}{\sqrt{\mu_1}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{m}} \begin{bmatrix} -k & -1.21\, k & -1.44 \,k \end{bmatrix} \left(\begin{array}{c}1\\ 0 \\ 0 \end{array}\right) = - \frac{k}{\sqrt{m}} \end{split}\end{split}\]

\[\begin{split}\begin{split} \Rightarrow \underline{r}_2 &=\underline{\underline{K}}_{sx} \underline{\phi}_{N2,\,x} = \underline{\underline{K}}_{sx} \frac{\underline{\phi}_{2,\, x}}{\sqrt{\mu_2}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{m}} \begin{bmatrix} -k & -1.21\, k & -1.44 \,k \end{bmatrix} \left(\begin{array}{c}0\\ 1 \\ 0 \end{array}\right) = - \frac{1.21\,k}{\sqrt{m}} \end{split}\end{split}\]

\[\begin{split}\begin{split} \Rightarrow \underline{r}_3 &=\underline{\underline{K}}_{sx} \underline{\phi}_{N3,\,x} = \underline{\underline{K}}_{sx} \frac{\underline{\phi}_{3,\, x}}{\sqrt{\mu_3}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{m}} \begin{bmatrix} -k & -1.21\, k & -1.44 \,k \end{bmatrix} \left(\begin{array}{c}0\\ 0 \\ 1 \end{array}\right) = - \frac{1.44\,k}{\sqrt{m}} \end{split}\end{split}\]

Soit dans le repère global :

\[\begin{split}\underline{\mathrm{F}}_{m1}=\underline{\underline{K}} \, \underline{\phi }_{\mathrm{N1}} = \frac{k}{\sqrt{\mathrm{m}}}\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)\end{split}\]

\[\begin{split}\underline{\mathrm{F}}_{m2}=\underline{\underline{K}} \, \underline{\phi }_{\mathrm{N2}} = \frac{k}{\sqrt{\mathrm{m}}}\left(\begin{array}{c}-1.21\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)\end{split}\]

\[\begin{split}\underline{\mathrm{F}}_{m3}=\underline{\underline{K}} \, \underline{\phi }_{\mathrm{N3}} = \frac{k}{\sqrt{\mathrm{m}}}\left(\begin{array}{c}-1.44\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)\end{split}\]