Problème de référence --------------------- .. figure:: images/schema.png :align: center :width: 50% Système de 3 masses et 3 ressorts en parallèle Notons :math:`u_i` le déplacement absolu au nœud i et :math:`r_i` la réaction d'ancrage. Système d'équations d'équilibre : .. math:: :label: sys_eq_equilibre \begin{cases} k_1 (u_2 - u_1) + k_2 (u_3 - u_1) + k_3 (u_4 - u_1) + r_1 = 0 \\ -k_1 (u_2 - u_1) = m_2 \ddot{u}_2 \\ -k_2 (u_3 - u_1) = m_3 \ddot{u}_3 \\ -k_3 (u_4 - u_1) = m_4 \ddot{u}_4 \end{cases} Notons :math:`\mathbf{U} = \left[ u_1 \, u_2 \, u_3 \, u_4 \right]^T` le vecteur des déplacements absolus des nœuds. On ramène l'équation :ref:`sys_eq_equilibre` sous la forme : .. math:: \mathbf{K} \, \mathbf{U} + \mathbf{M} \, \ddot{\mathbf{U}} = \mathbf{R} Matrice de rigidité : .. math:: \mathbf{K} = \begin{bmatrix} k_1+k_2+k_3 & -k_1 & -k_2 & -k_3 \\ -k_1 & k_1 & 0 & 0 \\ -k_2 & 0 & k_2 & 0 \\ -k_3 & 0 & 0 & k_3 \end{bmatrix} Matrice de masse : .. math:: \mathbf{M} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & m_1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & m_2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & m_3 \end{bmatrix} Vecteur de réaction : .. math:: \mathbf{R} = \begin{bmatrix} r_1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}^T Réarrangeons :math:`\mathbf{K}` : .. math:: \underline{\underline{K}}^p = \left[ \begin{array}{c c c |c} k_1 & 0 & 0 & -k_1 \\ 0 & k_2 & 0 & -k_2 \\ 0 & 0 & k_3 & -k_3 \\ \hline -k_1 & -k_2 & -k_3 & k_1 + k_2 +k_3 \end{array} \right] .. math:: \underline{\underline{K}}_{xx} = \begin{bmatrix} k_1 & 0 & 0 \\ 0 & k_2 & 0\\ 0 & 0 & k_3 \end{bmatrix} .. math:: \underline{\underline{K}}_{xs} = \begin{bmatrix} - k_1 \\ - k_2 \\ - k_3 \end{bmatrix} = \underline{\underline{K}}_{sx}^T .. math:: \underline{\underline{K}}_{ss} = \begin{bmatrix} k_1 + k_2 +k_3 \end{bmatrix} .. math:: \underline{\underline{M}}_{xx} = \begin{bmatrix} m_1 & 0 & 0 \\ 0 & m_2 & 0 \\ 0 & 0 & m_3 \end{bmatrix} Les masses sont identiques : :math:`m_1 = m_2 = m_3 = m`. On prend : :math:`k_1 = k`, :math:`k_2 = 1.21\,k`, :math:`k_3 = 1.44\,k` Soit :math:`\omega_i` les pulsations propres et :math:`\phi_{i,\, x}` les modes propres associés, on a : .. math:: \left( \mathbf{K}_{xx} - \omega_i^2 \mathbf{M}_{xx} \right)\phi_{i,\, x} = 0 .. math:: \Rightarrow \det \left( \mathbf{M}_{xx}^{-1} \mathbf{K}_{xx} - \omega_i^2 \mathbf{I} \right) = 0 Comme :math:`\mathbf{K}_{xx}` et :math:`\mathbf{M}_{xx}` sont des matrices diagonales, les fréquences propres sont obtenues directement par : .. math:: \omega_i = \sqrt{\frac{k_i}{m_i}} Fréquences propres : .. math:: f_i = \frac{\omega_i}{2 \pi} Les modes propres dans la base des degrés de liberté liés à la structure (ddl libres) sont : .. math:: \phi_{1, x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0 \\ 0 \end{array}\right) , \; \phi_{2, x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1 \\ 0 \end{array}\right) , \; \phi_{3, x}=\left(\begin{array}{c}0\\0 \\ 1 \end{array}\right) Modes propres non normés :math:`\{\phi_{i}\} \in \mathbb{R}^{4 \times 1}` dans le repère global : .. math:: \phi_{1}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1\\ 0 \\ 0 \end{array}\right) , \; \phi_{2}=\left(\begin{array}{c}0\\0\\ 1 \\ 0 \end{array}\right) , \; \phi_{3}=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0 \\ 1 \end{array}\right) Masse modale généralisé : :math:`{\mu }_{i} = \underline{\phi }_{i}^T \underline{\underline{M}} \, \underline{\phi }_{i}` .. math:: \Rightarrow {\mu }_{1} = {\mu }_{2} = {\mu }_{3} = m Modes propres normés à la masse modale généralisée unitaire :math:`{\phi }_{\text{Ni}}` : .. math:: \underline{\phi }_{\text{Ni}} = \frac{\underline{\phi}_i}{\sqrt{\mu_i}} **Les réactions modales** :math:`{\mathrm{F}}_{m,\,i}` : | **Nota :** On suppose qu’aucune force d’excitation n’est appliquée sur les degrés de liberté de structure, les réactions sont calculées au niveau des supports. | **Dans le repère repartitionné :** .. math:: \underline{F}_{m, \,i}^p=\left(\begin{array}{c}\underline{0}\\ \underline{r}_i\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ 0 \\ r_i\end{array}\right) .. math:: \underline{\phi }_{Ni}^p=\left(\begin{array}{c}\underline{\phi }_{Nix}^{}\\ \underline{\phi }_{Nis}^{}\end{array}\right) .. math:: \underline{r}_i=\underline{\underline{K}}_{sx} \underline{\phi}_{Ni,\,x} On en déduit : .. math:: \begin{split} \Rightarrow \underline{r}_1 &=\underline{\underline{K}}_{sx} \underline{\phi}_{N1,\,x} = \underline{\underline{K}}_{sx} \frac{\underline{\phi}_{1,\, x}}{\sqrt{\mu_1}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{m}} \begin{bmatrix} -k & -1.21\, k & -1.44 \,k \end{bmatrix} \left(\begin{array}{c}1\\ 0 \\ 0 \end{array}\right) = - \frac{k}{\sqrt{m}} \end{split} .. math:: \begin{split} \Rightarrow \underline{r}_2 &=\underline{\underline{K}}_{sx} \underline{\phi}_{N2,\,x} = \underline{\underline{K}}_{sx} \frac{\underline{\phi}_{2,\, x}}{\sqrt{\mu_2}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{m}} \begin{bmatrix} -k & -1.21\, k & -1.44 \,k \end{bmatrix} \left(\begin{array}{c}0\\ 1 \\ 0 \end{array}\right) = - \frac{1.21\,k}{\sqrt{m}} \end{split} .. math:: \begin{split} \Rightarrow \underline{r}_3 &=\underline{\underline{K}}_{sx} \underline{\phi}_{N3,\,x} = \underline{\underline{K}}_{sx} \frac{\underline{\phi}_{3,\, x}}{\sqrt{\mu_3}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{m}} \begin{bmatrix} -k & -1.21\, k & -1.44 \,k \end{bmatrix} \left(\begin{array}{c}0\\ 0 \\ 1 \end{array}\right) = - \frac{1.44\,k}{\sqrt{m}} \end{split} **Soit dans le repère global :** .. math:: \underline{\mathrm{F}}_{m1}=\underline{\underline{K}} \, \underline{\phi }_{\mathrm{N1}} = \frac{k}{\sqrt{\mathrm{m}}}\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right) .. math:: \underline{\mathrm{F}}_{m2}=\underline{\underline{K}} \, \underline{\phi }_{\mathrm{N2}} = \frac{k}{\sqrt{\mathrm{m}}}\left(\begin{array}{c}-1.21\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right) .. math:: \underline{\mathrm{F}}_{m3}=\underline{\underline{K}} \, \underline{\phi }_{\mathrm{N3}} = \frac{k}{\sqrt{\mathrm{m}}}\left(\begin{array}{c}-1.44\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)