2. Solution de référence#
2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
On calcule dans un premier temps les fréquences propres \({f}_{i}\) et les vecteurs propres \({\phi }_{\text{Ni}}\) associés normalisés par rapport à la matrice de masse. On calcule ensuite la réponse généralisée du système mono-excité en résolvant analytiquement l’intégrale de Duhamel [bib1]. Enfin, on restitue sur la base physique le déplacement relatif au point \(D\) .
Calcul des fréquences propres
Les matrices de masse et de raideur sont les suivantes:
\(M=\left[\begin{array}{ccc}m& 0& 0\\ 0& m& 0\\ 0& 0& m\end{array}\right]\) , \(K=k\left[\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ -1& 2& -1\\ 0& -1& 1\end{array}\right]\)
Les fréquences propres \(\omega\) sont solution de l’équation \(\det[K-{\lambda}^{2}M]=0\) , soit \({\lambda}^{3}-5{\lambda}^{2}+6\lambda -1=0\) où \(\lambda =\frac{\omega}{{\omega}_{0}}\) et \(\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}\) .
Calcul de la réponse généralisée du système mono-excité
\(\gamma (t)={\mathrm{a.t}}^{2}\) avec \(a={2.10}^{5}\) .
Dans le repère absolu, l’équation fondamentale de la dynamique du système masses-ressorts non amorti s’écrit: \(M\ddot{{X}_{a}}+K{X}_{a}=0\) .
Le déplacement absolu \({X}_{a}\) se décompose en un déplacement d’entraînement uniforme en translation \({X}_{e}\) et en un déplacement relatif \({X}_{r}\) : \({X}_{a}={X}_{r}+{X}_{e}\) .
L’équation du mouvement dans le repère relatif s’écrit alors: \(M\ddot{{X}_{r}}+K{X}_{r}=-M\Psi \ddot{{X}_{s}}=Q\)
avec \(\ddot{{X}_{s}}=\gamma (t)={\mathrm{a.t}}^{2}\) et \(\Psi =\left[\begin{array}{}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]\) et donc \(Q={\mathrm{a.t}}^{2}m\left[\begin{array}{}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]\) .
L’équation du mouvement projetée sur la base des modes dynamiques normalisés par rapport à la matrice de masse s’écrit:
\(\ddot{{\alpha}_{i}}(t)+{\omega}_{i}^{2}{\alpha}_{i}(t)=\frac{{\Phi}_{i}^{T}.M.\Psi }{{\Phi}_{i}^{T}.M.{\Phi}_{i}}\gamma (t)=-{p}_{i}(t)\gamma (t)\) .
La réponse de ce système linéaire, à un instant \(t\) est donnée par l’intégrale de Duhamel:
\(\ddot{{\alpha}_{i}}(t)=\frac{1}{{\omega}_{i}}{\int}_{0}^{t}-{p}_{i}(t)\gamma (t).\sin{\omega}_{i}(t-\tau )d\tau =-\frac{{p}_{i}(t)}{{\omega}_{i}}{\int}_{0}^{t}{\mathrm{a.t}}^{2}\sin{\omega}_{i}(t-\tau )d\tau\) .
Or, d’après [bib1], \({\int}_{0}^{t}a.{t}^{2}\sin{\omega}_{i}(t-\tau )d\tau =\frac{\alpha}{{\omega}_{i}}\left[{t}^{2}+\frac{2}{{\omega}_{i}}(\cos{\omega}_{i}t-1)\right]\) .
Donc \({X}_{r}={\Phi}_{i}\cdot {\alpha}_{i}=-\underset{i}{\Sigma}\frac{a.{p}_{i}(t).{\Phi}_{i}}{{\omega}_{i}^{2}}\left[{t}^{2}+\frac{2}{{\omega}_{i}}(\cos{\omega}_{i}t-1)\right]\) .
2.2. Résultats de référence#
On prend pour résultats de référence les trois fréquences propres du système et le déplacement relatif \({x}_{r}\) au point \(D\) , pour différents instants compris entre \(0\) et \(0,1s\) .
2.3. Incertitude sur la solution#
Aucune si l’on calcule l’intégrale de Duhamel analytiquement [bib1], [bib2].
2.4. Références bibliographiques#
J.S. PRZEMIENIECKI : Theorie of matrix structural analysis. New York, MacGraw-Hill, 1968, p.351-357
S.P. TIMOSHENKO, D.H. YOUNG et W. WEAVER : Vibrations problems in engineering 4ème édition, New York, Wiley & Sons, 1974, p. 284-321