Solution de référence ===================== Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence -------------------------------------------------------- On calcule dans un premier temps les fréquences propres :math:`{f}_{i}` et les vecteurs propres :math:`{\phi }_{\text{Ni}}` associés normalisés par rapport à la matrice de masse. On calcule ensuite la réponse généralisée du système mono-excité en résolvant analytiquement l’intégrale de Duhamel [:ref:`bib1 `]. Enfin, on restitue sur la base physique le déplacement relatif au point :math:`D` . **Calcul des fréquences propres** Les matrices de masse et de raideur sont les suivantes: :math:`M=\left[\begin{array}{ccc}m& 0& 0\\ 0& m& 0\\ 0& 0& m\end{array}\right]` , :math:`K=k\left[\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ -1& 2& -1\\ 0& -1& 1\end{array}\right]` Les fréquences propres :math:`\omega` sont solution de l’équation :math:`\det[K-{\lambda}^{2}M]=0` , soit :math:`{\lambda}^{3}-5{\lambda}^{2}+6\lambda -1=0` où :math:`\lambda =\frac{\omega}{{\omega}_{0}}` et :math:`\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}` . **Calcul de la réponse généralisée du système mono-excité** :math:`\gamma (t)={\mathrm{a.t}}^{2}` avec :math:`a={2.10}^{5}` . Dans le repère absolu, l’équation fondamentale de la dynamique du système masses-ressorts non amorti s’écrit: :math:`M\ddot{{X}_{a}}+K{X}_{a}=0` . Le déplacement absolu :math:`{X}_{a}` se décompose en un déplacement d'entraînement uniforme en translation :math:`{X}_{e}` et en un déplacement relatif :math:`{X}_{r}` : :math:`{X}_{a}={X}_{r}+{X}_{e}` . L’équation du mouvement dans le repère relatif s’écrit alors: :math:`M\ddot{{X}_{r}}+K{X}_{r}=-M\Psi \ddot{{X}_{s}}=Q` avec :math:`\ddot{{X}_{s}}=\gamma (t)={\mathrm{a.t}}^{2}` et :math:`\Psi =\left[\begin{array}{}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]` et donc :math:`Q={\mathrm{a.t}}^{2}m\left[\begin{array}{}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]` . L’équation du mouvement projetée sur la base des modes dynamiques normalisés par rapport à la matrice de masse s’écrit: :math:`\ddot{{\alpha}_{i}}(t)+{\omega}_{i}^{2}{\alpha}_{i}(t)=\frac{{\Phi}_{i}^{T}.M.\Psi }{{\Phi}_{i}^{T}.M.{\Phi}_{i}}\gamma (t)=-{p}_{i}(t)\gamma (t)` . La réponse de ce système linéaire, à un instant :math:`t` est donnée par l’intégrale de Duhamel: :math:`\ddot{{\alpha}_{i}}(t)=\frac{1}{{\omega}_{i}}{\int}_{0}^{t}-{p}_{i}(t)\gamma (t).\sin{\omega}_{i}(t-\tau )d\tau =-\frac{{p}_{i}(t)}{{\omega}_{i}}{\int}_{0}^{t}{\mathrm{a.t}}^{2}\sin{\omega}_{i}(t-\tau )d\tau` . Or, d’après [:ref:`bib1 `], :math:`{\int}_{0}^{t}a.{t}^{2}\sin{\omega}_{i}(t-\tau )d\tau =\frac{\alpha}{{\omega}_{i}}\left[{t}^{2}+\frac{2}{{\omega}_{i}}(\cos{\omega}_{i}t-1)\right]` . Donc :math:`{X}_{r}={\Phi}_{i}\cdot {\alpha}_{i}=-\underset{i}{\Sigma}\frac{a.{p}_{i}(t).{\Phi}_{i}}{{\omega}_{i}^{2}}\left[{t}^{2}+\frac{2}{{\omega}_{i}}(\cos{\omega}_{i}t-1)\right]` . Résultats de référence ---------------------- On prend pour résultats de référence les trois fréquences propres du système et le déplacement relatif :math:`{x}_{r}` au point :math:`D` , pour différents instants compris entre :math:`0` et :math:`0,1s` . Incertitude sur la solution --------------------------- Aucune si l’on calcule l’intégrale de Duhamel analytiquement [:ref:`bib1 `], [:ref:`bib2 `]. Références bibliographiques --------------------------- 1. J.S. PRZEMIENIECKI : Theorie of matrix structural analysis. New York, MacGraw-Hill, 1968, p.351-357 2. S.P. TIMOSHENKO, D.H. YOUNG et W. WEAVER : Vibrations problems in engineering 4ème édition, New York, Wiley & Sons, 1974, p. 284-321