12. Opérande pour les forces et les réactions nodales#

12.1. Opérande FORCE#

|    'FORC_NODA'

Calcul des forces nodales généralisées à partir des contraintes aux points de Gauss. Liste des composantes du champ :

DX DY DZ

Forces nodales

Composantes supplémentaires pour les modélisations thermo-hydro-mécaniques :

PRE1 PRE2 TEMP

Forces nodales (hydrauliques / thermique)

Composantes supplémentaires pour les éléments de structure :

DRX DRY DRZ

Forces nodales (moments)

Les forces nodales correspondent au sens éléments finis aux forces intérieures participant aux équations d’équilibre. Le calcul des forces nodales généralisées \({F}_{K}\) se fait de la façon suivante:

(12.1)#\[\sum_{K}{\mathrm{F}}_{K}.{\mathrm{v}}_{K}={\int}_{\Omega}\sigma .\epsilon ({\mathrm{v}}_{K})d\Omega =\sum_{K}\underset{K}{\int}{\sigma}^{K}.\epsilon ({\mathrm{v}}_{K})\mathit{dK}=\sum_{K}\underset{K}{\int}{\sigma}^{K}.\mathrm{B}.{\mathrm{v}}_{K}\mathit{dK}\]

Avec:

\({\sigma}^{K}\) contraintes aux points de Gauss de l’élément \(K\) ;
\(\mathrm{B}\) l’opérateur éléments finis de déformations généralisées (matrice reliant les déformations du 1er ordre aux déplacements généralisés);
\({\mathrm{v}}_{K}\) déplacement élémentaire unitaire généralisé.

D’où:

(12.2)#\[{\mathrm{F}}_{K}=\left\lbrace \underset{K}{\int}{}^{t}\mathrm{B}.{\sigma}^{K}\mathit{dK}\right\rbrace\]

La dimension des forces nodales est duale de celle des \({v}_{K}\) pour donner un travail (en Joules). Pour les éléments massifs (3D, 2D et barres), les FORC_NODA en général ont la dimension d’une force. Il s’agit d’un champ sur les nœuds du maillage où la valeur en un nœud est obtenue à partir des contraintes calculées sur les éléments concourants à ce nœud, ainsi leurs valeurs varient donc lorsque le maillage change. En l’absence de chargement réparti, l’équilibre impose leur nullité en un nœud intérieur, tandis qu’elles correspondent à la réaction sur les appuis où l’on impose une relation cinématique (cas d’un déplacement imposé).

Cas bi-dimensionnel

Pour les éléments axisymétriques, l’intégration en \(\theta\) se fait sur un secteur de \(1\mathit{radian}\) . Si on veut l’intégrale de l’effort surfacique sur tout le disque il faut donc multiplier par \(2\pi\) .

Pour les éléments en déformation plane, le calcul est fait sur une bande de largeur unité. Les forces nodales calculées sont donc en fait des forces par unité de longueur. Si on veut calculer les forces nodales s’exerçant sur une structure de largeur \(l\) , il faut multiplier le résultat en D_PLAN par \(l\) , à ceci près que l’hypothèse de déformation plane n’est pas valide près des deux faces. On aura donc un résultat approximatif.

Cas des éléments de structures

Pour les éléments de poutre et les éléments discrets, les contraintes aux points de Gauss sont en fait les efforts nodaux généralisés dans le repère de l’élément (obtenus par le produit de la matrice de rigidité de l’élément par le déplacement et en tenant compte des efforts d’origine thermique et des efforts répartis). Le calcul des forces nodales se fait en projetant les efforts nodaux contenus dans le champ de nom symbolique “SIEF_ELGA” dans le repère global. La sommation ci-dessus sur les éléments s’applique ensuite. Les composantes DX, DY et DZ donnent les forces et DRX, DRY et DRZ les moments.

Dans le cas des coques, les composantes DX, DY et DZ donnent les FORC_NODA (de dimension d’une force) dans le repère global du maillage. Ces composantes sont construites avec les efforts normaux et tranchants dans la coque. Les composantes DRX, DRY et DRZ donnent les FORC_NODA (de dimension d’un moment) dans le repère global du maillage, construites avec les moments fléchissants dans la coque. Dans le cas de comportements homogénéisés de coque type ELAS_COQUE, il est préférable de regarder EFGE_NOEU.

Cas de la thermo-hydro-mécanique (THM)

En thermo-hydro-mécanique, cf. §8, [R7.01.10], les forces nodales généralisées associées à chaque composante correspondent aux forces mécaniques et aux flux. Si on note \({Q}^{T}{\sigma}_{0}\) le résultat de FORC_NODA, pour les équations hydrauliques, alors pour un pas de temps \(\Delta t\) , on a :

(12.3)#\[\int_\Omega Q^T\sigma_0\cdot p^*d\Omega =-\int_\Omega \Delta m p^*d\Omega + \Delta t\int_\Omega M^+\cdot \nabla {p}^*d\Omega.\]

Les flux sont pris à l’instant \(t^+=t^-+\Delta t\).

Si on note \(q\) le flux thermique, \(Q\) l’apport de chaleur, \(M_w\), \(M_{vp}\), \(M_{as}\) et \(M_{ad}\) les flux hydrauliques de l’eau liquide, de la vapeur, de l’air (ou tout autre composant) sec et de l’air dissous, ainsi que \(m_w\), \(m_{vp}\), \(m_{as}\) et \(m_{ad}\) leur apport de masse respectif [R7.01.10], alors l’expression de FORC_NODA est la suivante :

au degré de liberté PRE1 est associé le flux d’eau

(12.4)#\[-\int_\Omega (\Delta m_w + \Delta m_{vp}) p^*d\Omega +\Delta t\int_\Omega (M_w^++{M}_{vp}^+)\cdot\nabla {p}^*d\Omega\]

au degré de liberté PRE2 est associé le flux du composant gazeux

(12.5)#\[-\int_\Omega (\Delta m_{as} + \Delta m_{ad}) p^*d\Omega+\Delta t\int_\Omega(M_{as}^++M_{ad}^+)\cdot\nabla {p}^*d\Omega\]

au degré de liberté TEMP est associé le flux thermique

(12.6)#\[-\int_\Omega \Delta Q T^*d\Omega+\Delta t\int_\Omega q^+\cdot \nabla {T}^{*}d\Omega\]

|    'REAC_NODA'

Calcul des forces nodales de réactions généralisées aux nœuds, à partir des contraintes aux points de Gauss et des chargements. Liste des composantes du champ:

DX DY DZ	Réactions nodales
Composantes supplémentaires pour les éléments de structure:
DRX DRY DRZ	Réactions nodales (moments)

Les réactions nodales généralisées correspondent au sens éléments finis aux forces exercées sur les appuis (conditions aux limites) participant aux équations d’équilibre.

Cas de la statique

En statique, pour les concepts résultat de type evol_elas, mult_elas, fourier_elas ou evol_noli, le calcul des réactions nodales généralisées \({R}_{K}\) se fait par:

(12.7)#\[\sum_{K}{\mathrm{R}}_{K}.{\mathrm{v}}_{K}=\sum_{K}{\mathrm{F}}_{K}.{\mathrm{v}}_{K}-\mathrm{L}({\mathrm{v}}_{K})\]

Avec:

\(\sum_{K}{\mathrm{F}}_{K}.{\mathrm{v}}_{K}\) l’expression des forces nodales (option FORC_NODA, voir () et ());
\({v}_{K}\) déplacement élémentaire unitaire généralisé.

Eton a:

(12.8)#\[L({v}_{K})=\underset{\Omega}{\int}f\cdot {v}_{K}d\Omega +\underset{\Gamma}{\int}{F}_{s}\cdot {v}_{K}d\Gamma +\sum_{i}{F}_{i}\cdot {{v}_{K}}_{i}\]

Avec:

\(f\) sont les forces volumiques;
\({F}_{s}\) les forces généralisées surfaciques;
\({F}_{i}\) les forces généralisées ponctuelles au nœud \(i\) .

Le vecteur des réactions nodales généralisées sur l’élément \(K\) s’obtient donc à partir des forces nodales généralisées:

(12.9)#\[{\mathrm{R}}_{K}={\mathrm{F}}_{K}-\underset{K}{\int}\mathrm{f}\mathit{dK}-\underset{\partial K}{\int}\mathrm{F}\partial K-\sum_{i}{{\mathrm{F}}_{i}}_{K}\]

autrement dit, on retranche aux forces nodales les forces extérieures généralisées appliquées à l’élément \(K\) .

Remarque: A noter que le chargement de température ne figure pas dans les forces extérieures: il intervient dans l’expression des contraintes via la loi de comportement.

Cas de la dynamique transitoire non-linéaire

Pour les concepts résultat de type evol_noli issus de calculs dynamiques traansitoires non-linéaires, pour obtenir les réactions nodales, il convient d’ôter de surcroît les efforts d’inertie (accélération) et d’amortissement liés à la vitesse:

(12.10)#\[\sum_{K}{\mathrm{R}}_{K}.{\mathrm{v}}_{K}=\sum_{K}{\mathrm{F}}_{K}.{\mathrm{v}}_{K}+(\mathrm{M}\ddot{\mathrm{u}})\cdot {\mathrm{v}}_{K}-\mathrm{L}({\mathrm{v}}_{K})\]

Où:

\(\sum_{K}{\mathrm{F}}_{K}.{\mathrm{v}}_{K}\) l’expression des forces nodales (option FORC_NODA, voir () et ());
\({v}_{K}\) déplacement élémentaire unitaire généralisé.
\(M\) est la matrice de masse;
\(\ddot{u}\) le champ d’accélération généralisée;
\(L\) le vecteur des forces extérieures généralisées appliquées (équation ()).

Remarques

Les contributions de l’amortissement liées directement à la vitesse sur les réactions nodales sont négligées;

Le calcul des efforts d’inertie requiert la présence du champ d’accélération ACCEdans la structure de données resultat. Dans le cas d’une structure de type evol_noli, il n’est pas possible pour le code de vérifier sa présence, il convient donc de prendre garde.

Cas de la dynamique modale

Pour les concepts résultat de type mode_meca (issus de calculs modaux) la formule est:

(12.11)#\[\sum_{K}{R}_{K}.{v}_{K}=\underset{\Omega}{\int}\sigma (\varepsilon (u)).\varepsilon ({v}_{K})d\Omega -{\omega}^{2}(M\cdot u)\cdot {v}_{K}\]

Où:

\(\sigma (\varepsilon (u))\) sont les contraintes modales généralisées;
\(M\) est la matrice de masse;
\(\omega\) la pulsation propre;
\(u\) le champ de déplacement généralisé du mode;
\({v}_{K}\) déplacement élémentaire unitaire généralisé.

Cas de la dynamique transitoire linéaire

Pour les concepts résultat de type dyna_trans issus de calculs dynamiques transitoires linéaires (DYNA_VIBRA/TYPE_CALCUL=”TRAN”) ou de type dyna_harmo issus de calculs harmoniques (DYNA_VIBRA/TYPE_CALCUL=”HARM”) l’expression des réactions nodales généralisées s’obtient par:

(12.12)#\[\sum_{K}{\mathrm{R}}_{K}.{\mathrm{v}}_{K}=\sum_{K}{\mathrm{F}}_{K}.{\mathrm{v}}_{K}+(\mathrm{M}\ddot{\mathrm{u}})\cdot {\mathrm{v}}_{K}-\mathrm{L}({\mathrm{v}}_{K})\]

Où:

\(\sum_{K}{\mathrm{F}}_{K}.{\mathrm{v}}_{K}\) l’expression des forces nodales (option FORC_NODA, voir () et ());
\({v}_{K}\) déplacement élémentaire unitaire généralisé.
\(M\) est la matrice de masse;
\(\ddot{u}\) le champ d’accélération généralisée;
\(L\) le vecteur des forces extérieures généralisées appliquées (équation ()).

Utilisation de GROUP_MA dans FORC_NODA et REAC_NODA

Si le mot clé GROUP_MA est renseigné, \({F}_{K}\) (option FORC_NODA) est calculé uniquement sur les éléments demandés puis assemblé. Le résultat est différent d’un calcul global sur tout le domaine puis réduit aux éléments demandés. La méthode implantée permet de mesurer la réaction d’un morceau de modèle sur un autre.

Attention! L e calcul de “ REAC_NODA “ sur un sous-ensemble du modèle (via le mot clé GROUP_MA ) doit être fait avec prudence. L’exemple 4 ci-dessous illustre ce type de calcul.

Pour les résultats de type dyna_harmo, le “REAC_NODA’se calcule uniquement sur le modèle en entier. Le calcul sur un sous-ensemble du modèle peut être réalisé manuellement en effectuant un calcul de “FORC_NODA’sur le groupe de mailles en question puis en retranchant la force extérieure sur les résultats obtenus.

Remarques

Les réactions nodales sont nulles en tout point intérieur du modèle et ne sont pas nulles a priori en un point du bord soumis à une condition aux limites cinématique (ou à des efforts de contact);

Le fait de négliger l’apport de l’ amortissement en dynamique peut créer un léger écart par rapport au résultat exact;

Seule la résultante des forces ou des réactions nodales sur un groupe de nœuds a un sens physique (ce groupe doit correspondre à au moins un élément du modèle, par exemple un bord soumis à une condition aux limites). Elle peut être calculée avec POST_RELEVE_T[U4.81.21]. Ponctuellement, le champ FORC_NODA ou REAC_NODA ne doit pas être interprété car la valeur en un nœud est directement liée à la finesse du maillage. De plus le signe de ces forces sur les nœuds d’un même élément peut être contre-intuitif alors qu’il est parfaitement en accord avec la théorie des éléments finis (par exemple sur des mailles QUAD8situées à l’interface d’une zone en compression pure, les signes des forces nodales aux sommets et aux milieux sont opposés);

Le calcul de REAC_NODA tient compte des chargements répartis sur les poutres. Dès lors que vous faites varier ce chargement sur un calcul non-linéaire (changement de EXCIT d’un pas de temps à l’autre), le calcul de REAC_NODA est interdit. Il est nécessaire de diviser son post-traitement en «paquets» de numéros d’ordre, pour lesquels le chargement est constant (c’est-à-dire qu’il utilise le même concept AFFE_CHAR_MECA dans EXCIT).

Certains chargements ne sontpas pris en compte lors du calcul de cette option, il s’agit de: INTE_ELEC, FORCE_SOL et RELA_CINE_BP.

12.2. Exemple 1 : structure chargée avec force nodale (2 éléments QUAD4)#

Sur cet exemple, les réactions aux nœuds \((2)\) sont bien égales aux forces nodales \((1)\) moins le chargement. Elles représentent les réactions aux appuis de la structure.

Si on restreint le calcul à la maille \(\mathit{M1}\) , les forces \((3)\) aux nœuds appartenant à la frontière entre \(\mathit{M1}\) et \(\mathit{M2}\) sont différentes. Elles représentent la réaction du modèle formé de \(\mathit{M1}\) au modèle formé de \(\mathit{M2}\) . À noter que le chargement nodal est divisé par deux car les deux mailles y contribuent. Les réactions nodales \((4)\) sont encore égales aux forces nodales moins le chargement.

Sur le calcul restreint à la maille \(\mathit{M2}\) , les forces nodales \((5)\) suivant \(\mathit{OX}\) sont de signe contraire au calcul restreint à la maille \(\mathit{M1}\) , illustrant le principe de l’action et la réaction.

12.3. Exemple 2 : structure avec chargement de température#

Données:

\(E={1.10}^{9}\text{Pa}\)

\(\nu =0.3\)

\(\alpha ={1.10}^{-6}\)

Résultats:

\({F}_{y}=-{3.410}^{4}N\)

\({F}_{\mathrm{1x}}=7.8{10}^{3}N\)

\({F}_{\mathrm{2x}}=-1.2{10}^{3}N\)

Sur cet exemple, les forces nodales et les réactions nodales coïncident car le seul chargement est un chargement température.

Si on restreint le calcul à la maille \(\mathit{M2}\) , les forces suivant \(\mathit{OY}\) restent les mêmes mais sont différentes suivant \(\mathit{OX}\) .

12.4. Exemple 3 : structure sous chargement réparti (poutre)#

On considère une structure de type poutre encastrée et soumise à un chargement de pesanteur sur sa moitié supérieure.

Figure 2.9.4-1: structure sous chargement réparti (gauche), FORC_NODA (droite)

Sur ce type de structure, si l’on restreint le calcul des forces et des réactions nodales à une sous-partie des éléments, FORC_NODA et REAC_NODA ne donneront pas le même résultat sur l’interface entre la partie isolée et le reste de la structure comme le montre la figure (sur la force \({F}_{3}\) ).

Figure 2.9.4-2: isolement d’une partie de la structure

12.5. Exemple 4 : calcul des réactions d’appui au pied d’un barrage#

Dans cet exemple, on schématise (très grossièrement!) un barrage en 2D. Le barrage est représenté par un triangle DEF posé sur une fondation représentée par un rectangle ABCG (voir schéma ci-dessous).

On aimerait calculer les réactions d’appui du barrage sur sa fondation.

Les chargements sont:

La pesanteur (qui s’applique au barrage et à sa fondation)
Le chargement de pression du à la retenue d’eau (côté amont) appliqué sur les bords CD et DE.
La fondation est encastrée sur AB.

Sur les illustrations suivantes, on a représenté la norme du champ REAC_NODA lorsqu’on utilise le mot clé GROUP_MA de différentes façons:

Illustration 1: on n’utilise pas GROUP_MA (TOUT=”OUI”)
Illustration 2: GROUP_MA=”BARRAGE”
Illustration 3:GROUP_MA=(“BARRAGE”,”DE”)
Illustration 4:GROUP_MA=(“BARRAGE”,”DE”,”CD”)

D E A GSchéma du barrage B C F	Illustration 1: REAC_NODA / TOUT=”OUI”
Illustration 2: REAC_NODA / GROUP_MA=”BARRAGE”	Illustration 3: REAC_NODA / GROUP_MA=(“BARRAGE”,”DE”)
Illustration 4: REAC_NODA / GROUP_MA=(“BARRAGE”,”DE”,”CD”)

Commentaires:

L’illustration 1 montre que quand on n’utilise pas le mot clé GROUP_MA, les réaction d’appui ne sont non-nulles que sur le bord du modèle où l’on impose des déplacements (ici AB).
L’illustration 2 montre que si l’on calcule REAC_NODA sur le seul groupe BARRAGE (formé seulement d’éléments «volumiques») des réactions non nulles apparaissent sur DF (ce que l’on cherche) mais aussi sur DE, ce qui doit nous alerter. La raison de ce comportement est que le chargement de pression sur DE n’a pas été calculé, car les éléments de bord qui calculent ce chargement ne font pas partie du groupe BARRAGE.
L’illustration 3 montre que si l’on calcule REAC_NODA sur les groupes BARRAGE et DE, les réactions sont celles que l’on cherche: elles ne sont non nulles que sur DF. Remarque: l’image semble montrer que des réactions non nulles existent sur une partie de CD et FG, mais c’est une illusion due à la visualisation: les forces nodales en D et F «bavent» sur les éléments adjacents.
L’illustration 4 montre qu’il ne faut pas ajouter trop de groupes de bord (ici CD). On voit que des réactions d’appuis non nulles apparaissent sur CD. Dans ce cas, la réaction sur le point D est fausse.

Conclusion

Si l’on veut calculer les réactions d’appui du barrage sur sa fondation, il faut demander le calcul de REAC_NODA en précisant exactement toutes les mailles du barrage et toutesles mailles de son bord soumis à un chargement réparti.

Il est vivement conseillé de visualiser les réactions calculées pour vérifier qu’elles ne sont non nulles que sur l’interface entre le barrage et sa fondation.