3. Discrétisation par éléments finis mixtes#

3.1. Choix de la discrétisation#

Lorsqu’on utilise une formulation mixte, il est nécessaire de discrétiser à la fois l’espace des déplacements, du multiplicateur de Lagrange p et du «gonflement» \(g\) . L’expérience acquise sur les éléments mixtes, notamment à 2 champs pour les éléments incompressibles, permet de savoir que la discrétisation de ces champs ne peut être quelconque, sous peine d’obtenir des phénomènes d’oscillations (notamment au niveau des pressions) ou des phénomènes de blocage (éléments ne pouvant pas se déformer ou trop rigides). Ainsi il est nécessaire d’avoir un nombre de points de Gauss de pression suffisamment important pour vérifier la condition d’incompressibilité presque partout et un nombre de points de Gauss de pression suffisamment faible pour avoir plus de degrés de liberté à calculer que de contraintes à vérifier. Une des conditions nécessaires pour obtenir des résultats satisfaisants est la vérification par l’élément fini considéré de la condition LBB (LADYJENSKAIA, BREZZI, BABUSKA). On peut trouver dans [bib5] et [bib6] des exemples d’éléments satisfaisant la condition LBB.

Ici le problème est un peu différent lorsque la formulation 3 champs est retenue.

En l’état actuel, les discrétisations utilisées ne sont pas les mêmes dans la version HPP et dans la version grandes déformations.

3.1.1. Petites déformations#

Pour les petites déformations, nous nous sommes inspirés des usages classiques des formulations mixtes (ex. [bib7]), en utilisant un élément de type \(\mathit{P2}/\mathit{P1}/\mathit{P1}\) pour la formulation à 3 champs. Autrement dit, le déplacement est quadratique, la pression et le gonflement sont tous les deux linéaires. Les éléments finis utilisés pour la formulation à 3 champs sont donc les suivants:

en 2D:	\(u\)	triangle à 6 nœuds	quadrilatère à 8 nœuds
en 2D:	\(p,g\)	triangle à 3 nœuds	quadrilatère à 4 nœuds
en 3D:	\(u\)	tétraèdre à 10 nœuds	héxaèdre à 20 nœuds	pentaèdre à 15 nœuds
en 3D:	\(p,g\)	tétraèdre à 4 nœuds	héxaèdre à 8 nœuds	pentaèdre à 6 nœuds

Pour chaque type d’élément, on utilise une seule famille de points de Gauss:

3 points pour les triangles
4 points pour les quadrilatères
4 points pour les tétraèdres
8 points pour les héxaèdres
21 points pour les pentaèdres

Pour la formulation à deux champs, un élément du type \(\mathit{P2}/\mathit{P1}\) a été introduit. Le déplacement a donc une interpolation quadratique tandis que la pression est interpolée linéairement. Dans le cas de l’utilisation d’une discrétisation en triangles ou tétraèdres linéaires, deux méthodes de stabilisation ont été introduite. La première correspond à l’élément fini stabilisé \(\mathit{P1}\text{+/}\mathit{P1}\) . Le \(+\) correspond à l’introduction d’un degré de liberté supplémentaire au centre de l’élément dans l’interpolation des déplacements. Ce degré supplémentaire est appelé communément «bulle». Cette méthode de stabilisation ne fonctionne que sur des éléments simplexes (triangle en 2D et tétraèdre en 3D). Elle a l’avantage d’utiliser très peu de degrés de liberté. La deuxième méthode de stabilisation correspond à la méthode Orthogonal Sub-Grid Scale (OSGS) [bib11]. L’avantage de cette méthode est de fonctionner pour toutes les topologies d’éléments. Son principal inconvénient est d’introduire une troisième inconnue (et donc des degrés de liberté supplémentaires) correspondant au champ de pression projeté \(\pi\) sur l’espace orthogonal aux champs de déplacement.

Les éléments finis utilisés pour la formulation à 2 champs sont donc les suivants:

Interpolation		P1+/P1	P1/P1 OSGS	P2/P1	P1/P1 OSGS	P2/P1	P1/P1 OSGS	P2/P1
en 2D:	\(u\)	triangle à 3 nœuds	triangle à 3 nœuds	triangle à 6 nœuds	quadrilatère à 4 nœuds	quadrilatère à 8 nœuds
	\(p\)	triangle à 3 nœuds	triangle à 3 nœuds	triangle à 3 nœuds	quadrilatère à 4 nœuds	quadrilatère à 4 nœuds
	\(\pi\)		triangle à 3 nœuds		quadrilatère à 4 nœuds
en 3D:	\(u\)	tétraèdre à 4 nœuds + bulle	tétraèdre à 4 nœuds	tétraèdre à 10 nœuds	cube à 8 nœuds	cube à 20 nœuds	pentaèdre à 6 nœuds	pentaèdre à 15 nœuds
	\(p\)	tétraèdre à 4 nœuds	tétraèdre à 4 nœuds	tétraèdre à 4 nœuds	cube à 8 nœuds	cube à 8 nœuds	pentaèdre à 6 nœuds	pentaèdre à 6 nœuds
	\(\pi\)		tétraèdre à 4 nœuds		cube à 8 nœuds		pentaèdre à 6 nœuds

Les familles de points de Gauss utilisées sont les mêmes que celles de la formulation à 3 champs. On notera que pour les éléments \(\mathit{P1}\text{+/}\mathit{P1}\) , on n’utilise qu’un seul point de Gauss pour l’intégration.

3.1.2. Grandes déformations#

A partir de la version 11, le choix des interpolations en grandes déformations est identique à celui des petites déformations. Les éléments sont du type \(\mathit{P2}/\mathit{P1}/\mathit{P1}\) pour les formulations à 3 champs et \(\mathit{P2}/\mathit{P1}\) pour la formulation à 2 champs. Les éléments finis utilisés pour la formulation à 3 champs sont donc les suivants:

en 2D:	\(u\)	triangle à 6 nœuds	quadrilatère à 8 nœuds
en 2D:	\(p,g\)	triangle à 3 nœuds	quadrilatère à 4 nœuds
en 3D:	\(u\)	tétraèdre à 10 nœuds	héxaèdre à 20 nœuds	pentaèdre à 15 nœuds
en 3D:	\(p,g\)	tétraèdre à 4 nœuds	héxaèdre à 8 nœuds	pentaèdre à 6 nœuds

Ce sont les mêmes familles de points de Gauss que celles des petites déformations qui ont été utilisées.

3.2. Écriture du problème discret#

On aborde ici dans un premier temps, l’écriture du problème discret dans le cadre de la formulation à 3 champs. Soit \({u}^{e}\) , \({p}^{e}\) et \({g}^{e}\) , les vecteurs des inconnues nodales élémentaires (respectivement déplacement, pression et gonflement). Si \({N}^{u}\) , \({N}^{p}\) et \({N}^{g}\) sont les fonctions de formes (respectivement des interpolations des déplacement, de la pression et du gonflement) associées à l’élément fini considéré:

\[\begin{split}\begin{array}{c} u={N}^{u}{u}^{e} \\ p={N}^{p}{p}^{e} \\ g={N}^{g}{g}^{e} \end{array}\end{split}\]

3.2.1. Écriture en petites déformations#

\(B\) est la matrice de dérivation classique permettant de passer de \({u}^{e}\) à \(\varepsilon\) :

\[\varepsilon =B{u}^{e}\]

Dans la formulation, on distingue \({e}_{\text{dev}}\) et \({e}_{\text{dil}}\) , ce qui nous amène à définir les opérateurs \({B}_{\text{dev}}\) et \({B}_{\text{dil}}\) tels que: \({\epsilon}^{D}={B}_{\text{dev}}{U}^{e}\) et \(\frac{\text{tr}\epsilon }{3}={B}_{\text{dil}}{U}^{e}\)

La forme discrétisée des équations du problème à 3 champs [éq ] s’écrit:

\[\begin{split}\begin{array}{l} {F}_{u}=\underset{\Omega}{\int}{B}^{T}({\sigma}^{D}+pI)d\Omega ={F}_{\mathrm{ext}}\\ {F}_{p}=\underset{\Omega}{\int}{({N}^{p})}^{T}({B}_{\mathrm{dil}}u-g)d\Omega =0\\ {F}_{g}=\underset{\Omega}{\int}{({N}^{g})}^{T}(\frac{1}{3}\text{tr}(\sigma )-p)d\Omega =0\end{array}\end{split}\]

La matrice tangente du problème est symétrique et s’appuie sur les termes suivants:

\[\begin{split}\begin{array}{l} {K}_{\mathrm{uu}}=\frac{\partial {F}_{u}}{\partial {u}^{e}}=\underset{\Omega}{\int}{B}_{\mathrm{dev}}^{T}D{B}_{\mathrm{dev}}d\Omega \\ {K}_{\mathrm{up}}=\frac{\partial {F}_{u}}{\partial {p}^{e}}=\underset{\Omega}{\int}{B}_{\mathrm{dil}}^{T}{N}^{p}d\Omega \\ {K}_{\mathrm{ug}}=\frac{\partial {F}_{u}}{\partial {g}^{e}}=\frac{1}{3}\underset{\Omega}{\int}\text{tr}({B}_{\mathrm{dev}}^{T}D){N}^{g}d\Omega \\ {K}_{\mathrm{pp}}=\frac{\partial {F}_{p}}{\partial {p}^{e}}=0 \\ {K}_{\mathrm{pg}}=\frac{\partial {F}_{p}}{\partial {g}^{e}}=-\underset{\Omega}{\int}{({N}^{p})}^{T}{N}^{g}d\Omega \\ {K}_{gg}=\frac{\partial {F}_{g}}{\partial {g}^{e}}=\frac{1}{9}\underset{\Omega}{\int}{({N}^{g})}^{T}\text{tr}(D){N}^{g}d\Omega\end{array}\end{split}\]

En ce qui concerne la formulation à 2 champs, elle se déduit aisément de la précédente. Les formes discrétisée des équations nous donnent:

\[\begin{split}\begin{array}{l} {F}_{u}=\underset{\Omega}{\int}{B}^{T}({\sigma}^{D}+pI)d\Omega ={F}_{\mathit{ext}}\\ {F}_{p}=\underset{\Omega}{\int}{({N}^{p})}^{T}({B}_{\mathrm{dil}}u-\frac{{N}^{p}}{\kappa})d\Omega =0\end{array}\end{split}\]

La matrice tangente du problème est symétrique et s’appuie sur les termes suivants:

3.2.2. Écriture en grandes transformations#

L’écriture étant un peu fastidieuse, le lecteur pourra se reporter à la lecture de [bib8] pour avoir plus d’informations.