2. Analyse de Fourier anisotrope

2.1. Théorie générale

Tous les champs considérés (forces, déplacements, déformations, contraintes) sont exprimés en coordonnées cylindriques avec la convention suivante sur l’ordre des composantes:

1	composante radiale suivant \(r\)
2	composante axiale suivant \(z\)
3	composante tangentielle suivant \(\theta\)

Exemple: \(({u}_{r},{u}_{z},{u}_{\theta}),({f}_{r},{f}_{z},{f}_{\theta})\)

Le maillage est localisé dans le plan \((r,z)\) , la symétrie de révolution se faisant autour de l’axe \(\mathrm{Oz}\) . Le trièdre \((r,z,\theta )\) est orienté dans le sens direct.

On décompose le déplacement \(\mathrm{u}\) (ou le chargement \(f\) ) suivant \(\mathrm{u}={\mathrm{u}}^{s}+{\mathrm{u}}^{a}\) où \({\mathrm{u}}^{s}\) (resp. \({u}^{a}\) ) désigne la partie symétrique (resp. antisymétrique) du développement en série de Fourier de \(u\) par rapport à la variable \(\theta\) .

On obtient:

\(\begin{array}{}\begin{array}{}{u}_{r}^{s}=\sum_{l=0}^{\infty}{u}_{l}^{s}(r,z)\cosl\theta \\ {u}_{z}^{s}=\sum_{l=0}^{\infty}{v}_{l}^{s}(r,z)\cosl\theta \\ {u}_{\theta}^{s}=\sum_{l=0}^{\infty}{w}_{l}^{s}(r,z)(-\sinl\theta )\end{array}\rbrace \text{partie symétrique}{u}^{s}\\ \begin{array}{}{u}_{r}^{a}=\sum_{l=0}^{\infty}{u}_{l}^{a}(r,z)\sinl\theta \\ {u}_{z}^{a}=\sum_{l=0}^{\infty}{v}_{l}^{a}(r,z)\sinl\theta \\ {u}_{\theta}^{a}=\sum_{l=0}^{\infty}{w}_{l}^{a}(r,z)\cosl\theta \end{array}\rbrace \text{partie antisymétrique}{u}^{a}\end{array}\)

A noter le choix du signe \(–\) pour \({u}_{\theta}^{s}\) , qui permet de simplifier les calculs ultérieurs. Si on note \({U}_{l}^{s}=({u}_{l}^{s},{v}_{l}^{s},{w}_{l}^{s})\text{}(\text{resp}.{U}_{l}^{a})\) la \(l-\text{ième}\) composante symétrique (resp. antisymétrique) du développement en série de Fourier de \(u\) , on obtient:

\(u=\sum_{l=0}^{\infty}\left[(\begin{array}{ccc}\cosl\theta & & 0\\ & \cosl\theta & \\ 0& & -\sinl\theta \end{array}){U}_{l}^{s}+(\begin{array}{ccc}\sinl\theta & & 0\\ & \sinl\theta & \\ 0& & \cosl\theta \end{array}){U}_{l}^{a}\right]\) éq 2.1-1

Si l’on désigne par \(\varepsilon\) le vecteur déformation linéarisé, on s’aperçoit que \(\varepsilon\) peut être décomposé en série de Fourier suivant:

\(\varepsilon =\sum_{l=0}^{\infty}(\begin{array}{cc}\cosl\theta {I}_{4}& {0}_{4,2}\\ {0}_{2,4}& -\sinl\theta {I}_{2}\end{array}){\varepsilon}_{l}^{s}+(\begin{array}{cc}\sinl\theta {I}_{4}& {0}_{4,2}\\ {0}_{2,4}& \cosl\theta {I}_{2}\end{array}){\theta}_{l}^{a}\) éq 2.1-2

avec \(\varepsilon =\left\lbrace {\varepsilon}_{r},{\varepsilon}_{z},{\varepsilon}_{q},{\gamma}_{\text{rz}},{\gamma}_{\mathrm{rq}},{\gamma}_{\mathrm{zq}}\right\rbrace\)

\({\varepsilon}_{l}^{s}={B}_{l}^{s}{U}_{l}^{s}\text{}{\varepsilon}_{l}^{a}={B}_{l}^{a}{U}_{l}^{a}\)

avec (voir [bib1]):

\({B}_{l}^{s}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial}{\partial r}& 0& 0\\ 0& \frac{\partial}{\partial z}& 0\\ \frac{1}{r}& 0& -\frac{l}{r}\\ \frac{\partial}{\partial z}& \frac{\partial}{\partial r}& 0\\ \frac{l}{r}& 0& \frac{\partial}{\partial r}-\frac{1}{r}\\ 0& \frac{l}{r}& \frac{\partial}{\partial z}\end{array}\right]\)

On a \({B}_{l}^{a}={B}_{l}^{s}\text{}\forall l\) (ceci est dû au choix du développement symétrique de \(u\) en \((\cos,\cos,–\sin)\) au lieu de \((\cos,\cos,\sin)\) ). On omettra à partir de maintenant les indices \(a\) et \(s\) et on notera \({B}_{l}\) l’opérateur permettant de calculer les déformations correspondant à l’harmonique \(l\) .

2.2. Couplage et découplage des modes symétriques et antisymétriques

En reprenant les notations précédentes, on a:

\(u=\sum_{l}(\begin{array}{cc}\cosl\theta {I}_{2}& {0}_{2,1}\\ {0}_{1,2}& -\sinl\theta \end{array}){u}_{l}^{s}+\sum_{l}(\begin{array}{cc}\sinl\theta {I}_{2}& {0}_{2,1}\\ {0}_{1,2}& \cosl\theta \end{array}){u}_{l}^{a}\)

ce qui s’écrit, en introduisant des matrices \({M}_{l}^{s}\text{et}{M}_{l}^{a}\) :

\(\begin{array}{}u=\sum_{l}({M}_{l}^{s}{U}_{l}^{s}+{M}_{l}^{a}{U}_{l}^{a})\\ {u}_{l}={M}_{l}^{s}{U}_{l}^{s}+{M}_{l}^{a}{U}_{l}^{a}\end{array}\)

On en déduit que: \({\varepsilon}_{l}=M{'}_{l}^{s}{\varepsilon}_{l}^{s}+M{'}_{l}^{a}{\varepsilon}_{l}^{a}\)

\(\begin{array}{}\begin{array}{cc}\text{avec}& M{'}_{l}^{s}=(\begin{array}{cc}\cosl\theta {I}_{4}& {0}_{4,2}\\ {0}_{2,4}& -\sinl\theta {I}_{2}\end{array})\\ & M{'}_{l}^{a}=(\begin{array}{cc}\sinl\theta {I}_{4}& {0}_{4,2}\\ {0}_{2,4}& \cosl\theta {I}_{2}\end{array})\end{array}\\ \end{array}\)

Calcul de l’énergie de déformation

\(\begin{array}{}\begin{array}{cc}{W}_{l}& =\underset{0}{\overset{2\pi }{\int}}\underset{s}{\int}{}^{t}{\varepsilon}_{l}D{\varepsilon}_{l}\mathrm{ds}d\theta \text{avec}\mathrm{ds}=\text{rdrdz}\\ & =\underset{0}{\overset{2\pi }{\int}}d\theta \underset{s}{\int}{}^{t}{\varepsilon}_{l}^{s\text{}t}M{'}_{l}^{s}\text{DM}{'}_{l}^{s}{\varepsilon}_{l}^{s}\text{ds}+\underset{0}{\overset{2\pi }{\int}}d\theta \underset{s}{\int}{}^{t}{\theta}_{l}^{a\text{}t}M{'}_{l}^{a}\text{DM}{'}_{l}^{a}{\varepsilon}_{l}^{a}\text{ds}\\ & +\underset{0}{\overset{2\pi }{\int}}d\theta \underset{s}{\int}{}^{t}{\varepsilon}_{l}^{a\text{}t}M{'}_{l}^{a}\text{DM}{'}_{l}^{s}{\varepsilon}_{l}^{s}\text{ds}+\underset{0}{\overset{2\pi }{\int}}d\theta \underset{s}{\int}{}^{t}{\varepsilon}_{l}^{s\text{}t}M{'}_{l}^{s}\text{DM}{'}_{l}^{a}{\varepsilon}_{l}^{a}\text{ds}\end{array}\\ \text{Puisque}M{'}_{l}^{a}\text{DM}{'}_{l}^{s}=(\begin{array}{cc}\sinl\theta {I}_{4}& 0\\ 0& \cosl\theta {I}_{2}\end{array})(\begin{array}{cc}{D}_{1}& {D}_{3}\\ {}^{t}\text{}{D}_{3}& {D}_{2}\end{array})(\begin{array}{cc}\cosl\theta {I}_{4}& 0\\ 0& -\sinl\theta {I}_{2}\end{array})\\ \text{}M{'}_{l}^{a}\text{DM}{'}_{l}^{s}=(\begin{array}{cc}{D}_{1}\sinl\theta \cosl\theta & -{D}_{3}{(\sinl\theta )}^{2}\\ {}^{t}\text{}{D}_{3}{(\cosl\theta )}^{2}& -{D}_{2}\sinl\theta \cosl\theta \end{array})\end{array}\)

et que \(\underset{0}{\overset{2\pi }{\int}}\sinl\theta \cosl\theta d\theta =0,\text{si}{D}_{3}=0\) il n’y a donc pas de terme \(({}^{t}\text{}{\varepsilon}_{l}^{a},{\varepsilon}_{l}^{s})\text{ou}({}^{t}\text{}{\varepsilon}_{l}^{s},{\varepsilon}_{l}^{a})\) dans \(W\) . Il n’y a alors pas de couplage \(({U}^{a},{U}^{s})\text{ou}({U}^{s},{U}^{a})\) .

2.3. Calcul des contraintes

De même que \(\varepsilon ,\sigma\) peut être décomposé en séries de Fourier suivant:

\(\sigma =\sum_{l}(M{'}_{l}^{s}{\sigma}_{l}^{s}+M{'}_{l}^{a}{\sigma}_{l}^{a})\)

De la loi de Hooke \(\sigma =D\varepsilon\) , on déduit:

\(s=\sum_{l}(\begin{array}{cc}\cosl\theta {D}_{1}& -\sinl\theta {D}_{3}\\ \cosl\theta {D}_{3}^{t}& -\sinl\theta {D}_{2}\end{array}){\varepsilon}_{l}^{s}+(\begin{array}{cc}\sinl\theta {D}_{1}& \cosl\theta {D}_{3}\\ \sinl\theta {D}_{3}^{t}& \cosl\theta {D}_{2}\end{array}){\varepsilon}_{l}^{a}\)

Soit, en faisant apparaître les matrices \(M{'}_{l}^{s}\text{et}M{'}_{l}^{a}\) :

\(\begin{array}{cc}\sigma =& \sum_{l}M{'}_{l}^{s}\left[(\begin{array}{cc}{D}_{1}& {0}_{4,2}\\ {0}_{2,4}& {D}_{2}\end{array}){\varepsilon}_{l}^{s}+(\begin{array}{cc}{0}_{4,4}& {D}_{3}\\ -{D}_{3}^{t}& {0}_{2,2}\end{array}){\varepsilon}_{l}^{a}\right]\\ & +M{'}_{l}^{a}\left[(\begin{array}{cc}{0}_{4,4}& -{D}_{3}\\ {D}_{3}^{t}& {0}_{2,2}\end{array}){\varepsilon}_{l}^{s}+(\begin{array}{cc}{D}_{1}& {0}_{4,2}\\ {0}_{2,4}& {D}_{2}\end{array}){\varepsilon}_{l}^{a}\right]\end{array}\)

En posant \({D}^{s}(\begin{array}{cc}{D}_{1}& {0}_{4,2}\\ {0}_{2,4}& {D}_{2}\end{array})\) et \({D}^{a}=(\begin{array}{cc}{0}_{4,4}& {D}_{3}\\ -{D}_{3}^{t}& {0}_{2,2}\end{array})\) , on en déduit les parties symétrique et antisymétrique de la contrainte relative à l’harmonique \(l\) :

\(\lbrace \begin{array}{}{\sigma}_{l}^{s}={D}^{s}{\varepsilon}_{l}^{s}+{D}^{a}{\varepsilon}_{l}^{a}={D}^{s}{B}_{l}{u}_{l}^{s}+{D}^{a}{B}_{l}{u}_{l}^{a}\\ {\sigma}_{l}^{a}=-{D}^{a}{\varepsilon}_{l}^{s}+{D}^{s}{\varepsilon}_{l}^{a}=-{D}^{a}{B}_{l}{u}_{l}^{s}+{D}^{s}{B}_{l}{u}_{l}^{a}\end{array}\) éq 2.3-1

Remarque:

Dans le cas de l’orthotropie par rapport à \(\mathrm{Oz}\) , on a \({D}^{a}=0\) et [éq 2.1-1] se réduit à:

\(\lbrace \begin{array}{}{\sigma}_{l}^{s}={D}^{s}{B}_{l}{u}_{l}^{s}\\ {\sigma}_{l}^{a}={D}^{s}{B}_{l}{u}_{l}^{a}\end{array}\)

C’est-à-dire que si les déplacements sont symétriques (ou antisymétriques), les contraintes le sont aussi.