4. Modes propres et élimination

Cette section fait écho à la section §7 de la documentation R3.03.01, et justifie la méthode d’élimination pour le calcul des modes propres. On s’intéresse ici au problème général suivant:

(4.1)\[\textrm{Trouver les couples} \left({\omega}_{0}^{2},\lbrace \varphi \rbrace \right)\]

Les matrices \({M}_{c}\) et \({K}_{c}\) doivent prendre en compte les conditions aux limites, et sont ici supposées obtenues à partir de fonctions de formes \({u}_{N}\) vérifiant \({\mathit{Bu}}_{N}=0\) . Or, dans le cas présent, le problème assemblé n’est pas le problème (), mais un problème de taille plus importante, pour lequel les fonctions de formes ne vérifient pas les contraintes cinématiques. Les matrices \({M}_{b}\) et \({K}_{b}\) sont de dimension \((N-\mathit{Nb})\times (N-\mathit{Nb})\) .

En partant des matrices assemblées \(M\) et \(K\) , de taille \(N\times N\) , construites sur la base de fonctions de formes \(u\) ne vérifiant pas \(\mathit{Bu}=0\) , il existe deux alternatives pour résoudre le problème (). La première consiste à augmenter la matrice \(K\) pour faire apparaître les contraintes cinématiques, en ajoutant des inconnues sous la forme de multiplicateurs de Lagrange. C’est l’approche retenue jusqu’à présent dans le code. Le problème à résoudre s’écrit, avec la technique de double dualisation:

(4.2)\[\begin{split}\left(\left[\begin{array}{ccc}K& {B}^{T}& {B}^{T}\\ B& -\mathit{Id}& \mathit{Id}\\ B& \mathit{Id}& -\mathit{Id}\end{array}\right]-{\omega}_{0}^{2}\left[\begin{array}{ccc}M& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\right)\left\lbrace \begin{array}{c}\varphi \\ {\lambda}_{1}\\ {\lambda}_{2}\end{array}\right\rbrace =\left\lbrace \begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right\rbrace\end{split}\]

L’approche par ajouts de multiplicateurs de Lagrange, dans le cas de la recherche des modes propres, n’est pas satisfaisante, puisqu’en plus de la perte des propriétés de positivité de l’opérateur, on ajoute un nombre important de degrés de liberté, et on élargit donc le spectre du problème. Cet élargissement de spectre pose des problèmes numériques, qui obligent à un travail important dans ce cas.

La seconde approche, celle proposée ici, est plus naturelle, et se rapproche du problème initial. Les matrices de masse et de raideur sont certes assemblées sur la base de fonctions de formes ne vérifiant pas les conditions limites, mais la recherche des modes propres et des valeurs propres peut se faire dans un sous espace adapté. Il suffit de construire une base du sous espace des vecteurs \(v\) vérifiant \(\mathit{Bv}=0\) . Ce sous espace est naturellement le noyau de \(B\) . Il suffit alors de rechercher les modes du problème non contraint projeté dans le noyau de \(B\) . Soit \(Z\) une base du noyau, on cherche alors les couples \(\left({\omega}_{0}^{2},\lbrace \psi \rbrace \right)\) qui vérifient

(4.3)\[\left[{Z}^{T}\left(K-{\omega}_{0}^{2}M\right)Z\right]\left\lbrace \begin{array}{c}\psi \end{array}\right\rbrace =\left\lbrace \begin{array}{c}0\end{array}\right\rbrace\]

On identifie alors \({M}_{b}={Z}^{T}MZ\) et \({K}_{b}={Z}^{T}KZ\) .

Après résolution du problème modal réduit, on peut calculer la valeur des multiplicateurs de Lagrange :math:`lambda ` par la relation :

(4.4)\[\left\lbrace \lambda \right\rbrace = - \left(BB^T\right)^{-1} B\left(K-{\omega}_{0}^{2}M\right)Z \left\lbrace \psi \right\rbrace\]